Exercices récapitulatifs sur la distribution binomiale

Exercice 6.1 : CD audio : « 5-bit oversampling »

Dans un lecteur CD, le canal de transmission des informations ne traite que des 0 et des 1. A cause de perturbations dues à l’électricité statique, chaque chiffre transmis l’est avec une probabilité d’erreur de 1/5. Dès lors, pour éviter une erreur, on transmettra une séquence de cinq 0 au lieu de 0 et de cinq 1 au lieu de 1. Le récepteur décode selon la règle de la majorité.

a. Quelle est la probabilité de mauvaise interprétation d’une information ?

Soit X, une variable aléatoire ~Bi(5 ; 0,2) représentant le nombre de caractères erronés dans une séquence de cinq chiffres, et F = « L’information est incorrectement décodée. ».
P(F) = P(X  3) = 1 – F(2) = 1 – =
1 – 0,328 – 0,410 – 0,205 = 0,057.
Donc la probabilité que la transmission d’un caractère binaire soit correcte =
1 – 0,057 = 0,943.

b. Une chanson standard de trois minutes est composée de 180.000 signaux digitaux. Quelle est la probabilité qu’elle soit décodée sans erreur ?

Soit C = « Tous les caractères décodés sont conformes aux caractères originaux. », P(C) = = 1,273e-4588  0.

Exercice 6.2 : Réseau de téléphonie mobile

Un réseau de téléphonie mobile sur un territoire donné se compose de n relais et fonctionne un jour donné si, ce jour-là, au moins k relais sont opérationnels.
Par mauvais temps (pluie, neige, …), chaque relais fonctionne avec une probabilité p1, indépendamment des autres. Par temps sec, idem mais avec une probabilité p2.
a) Si  désigne la probabilité qu’il pleuve demain, quelle est la probabilité que le réseau fonctionne alors ?
Soit S = « Le réseau fonctionne. » ; R = « Le temps sera mauvais demain. ».
Et Fi(k) : la fonction de répartition quand X vaut k, , avec X une V.A.D. ~Bi(n, pi), (i = R, ).
Donc par LPT :
P(S) = P( ).P(S/ ) + P(R).P(S/R) = =
b) Si k = 5, combien de relais doit-on installer au total et au minimum pour que le réseau fonctionne quelque soit le climat ?
(N.B. p1 = 0,8 ; p2 = 0,95 ; on tolère 0,7 % de pannes.)
Il faut P(S)  0,993 par temps de pluie ; donc n tel que  0,993
Donc 1 – F(4)  0,993.  F(4)  0,007.
Donc, n = 10, voir tables de la fonction de répartition binomiale (Annexe 4 au Chapitre 6).

Exercice 6.2 : Réseau de téléphonie mobile

Un réseau de téléphonie mobile sur un territoire donné se compose de n relais et fonctionne un jour donné si, ce jour-là, au moins k relais sont opérationnels. Par mauvais temps (pluie, neige, …), chaque relais fonctionne avec une probabilité p1, indépendamment des autres. Par temps sec, idem mais avec une probabilité p2.
a) Si  désigne la probabilité qu’il pleuve demain, quelle est la probabilité que le réseau fonctionne alors ?
Soit S = « Le réseau fonctionne. » ; R = « Le temps sera mauvais demain. ».
Et Fi(k) : la fonction de répartition quand X vaut k, , avec X une V.A.D. ~Bi(n, pi), (i = R, ).
Donc par LPT :
P(S) = P( ).P(S/ ) + P(R).P(S/R) = =

b) Si k = 5, combien de relais doit-on installer au total et au minimum pour que le réseau fonctionne quelque soit le climat ?
(N.B. p1 = 0,8 ; p2 = 0,95 ; on tolère 0,7 % de pannes.)
Il faut P(S)  0,993 par temps de pluie ; donc n tel que  0,993
Donc 1 – F(4)  0,993.  F(4)  0,007.
Donc, n = 10, voir tables de la fonction de répartition binomiale (Annexe 4 au Chapitre 6).

Exercice 6.3 : Design « never fail »

Une firme de construction d’ordinateurs veut lancer une nouvelle gamme de micro-ordinateurs « soft fail » et « never fail » en les équipant de plusieurs processeurs qui prennent automatiquement le relais les uns des autres en cas de panne. Ces ordinateurs sont destinés à travailler dans des environnements très perturbés. Ainsi la probabilité de panne d’un processeur vaut-elle 1-p au cours d’une session de travail, indépendamment du fonctionnement des autres processeurs. Cependant pour fonctionner sous la garantie de « never fail », l’ordinateur doit posséder une majorité de processeurs en ordre de fonctionnement.
Pour quelles valeurs de p préfère-t-on un ordinateur à trois processeurs plutôt qu’à 5 ?
Soit Fi = « L’ordinateur à i processeurs fonctionne sous la garantie de « never fail. » », (i = 3 ; 5).
Soit Xi, le nombre de processeurs en fonctionnement dans un ordinateur à i processeurs.
Xi est donc une V.A.D. ~Bi(i, p), (i = 3 ;5).
Pour i = 3, P(F3) = P(X3  2) = P(X3 = 2) + P(X3 = 3) =
Pour i = 5, P(F5) = P(X5  3) = P(X5 = 3) + P(X5 = 4) + P(X5=5) =
On préférera la machine à 3 processeurs relativement à la machine à 5 processeurs, si P(F3) > P(F5).
Donc si 3p2 – 2p3 > 10p3 – 15p4 + 6 p5 ou – 6 p5 + 15p4 – 12p3 + 3p2> 0
Donc si – 3p2.( 2p3 – 5p2 + 4 p – 1) > 0, soit 2p3 – 5p2 + 4 p – 1 < 0
Décomposant, on obtient : 2p3 – 4p2 + 2 p – p2 + 2 p -1 < 0
Regroupant et mettant 2p en évidence : 2p.(p2 – 2p + 1) – (p2 – 2 p +1) < 0
Soit (2p – 1).(p – 1)2 < 0. Donc 2p – 1 < 0, soit p < ½.