Extension du modèle et fluctuations

Une première approche des fluctuations

Deux différentes approches ont été développées dans le chapitre 1 : Boltzmann-Langevin et Hartree-Fock dépendent du temps stochastique. Dans notre approche avec un terme de collision type Uheling-Ulenbeck, les fluctuations sont introduites comme une modification du terme de collision où les corrélations interviennent lors des collisions élastiques. Pour introduire ces corrélations, nous allons reprendre la méthode utilisée dans la référence [BBDG87]. Cette procédure ne consiste plus à faire collisionner deux états-cohérents (ou particulestest dans un modèle semi-classique), mais à faire collisionner directement deux nucléons. De fait, on va introduire des corrélations sur les états-cohérents entre eux, car au lieu de les faire éventuellement collisionner tous indépendamment, une collision dite « maîtresse » va conditionner le changement d’impulsion de tout un groupe d’états-cohérents. Pour bien comprendre comment on réalise ces collisions, il faut reprendre le processus du terme de collision actuel. Premièrement, si l’on considère que chaque nucléon est décrit comme une superposition d’états-cohérents, la probabilité d’une collision nucléonnucléon doit être réduite par le nombre d’états-cohérents décrivant un nucléon. Dans les faits, on va donc réduire la section efficace nucléon-nucléon d’un facteur égal au nombre d’états-cohérents constituant les nucléons qui participent à la collision (car on rappelle que le nombre d’états-cohérents par nucléon dépend du noyau et de la condition initiale). Dans l’idée d’améliorer le terme de collision pour introduire ces fluctuations, on va partir d’une collision état-cohérent/état-cohérent considérée comme « maîtresse » et conserver la procédure de base de la collision. On va reconstruire un nucléon autour de chacun des deux états-cohérents en collision, c’est-à-dire que l’on va construire un « paquet d’états-cohérents » comme nucléon. Les nouvelles impulsions issues de la collision vont être appliquées à l’ensemble des paquets des états-cohérents respectifs, afin de garantir la conservation de l’impulsion. De plus, vu qu’on réalise une collision d’un paquet d’états cohérents, et non plus un seul état-cohérent, on va réduire à nouveau la section efficace nucléon-nucléon d’un facteur égal au nombre d’états-cohérents par nucléon.

Application au modèle

L’introduction de ces fluctuations dans notre terme de collision nécessite quelques précisions de formalisme. On rappelle que notre collision avec fluctuations est dirigée par la collision maîtresse, qui est une collision de deux états-cohérents qui satisfont tous les critères pour que la collision soit effective (voir chapitre 3 et Annexe B). Fabrication du nucléon L’objectif étant de créer des corrélations qui vont provoquer des fluctuations : il faut corréler « ce qui est corrélable ». A partir du moment où un état-cohérent va collisionner (donc que la collision est effective), on doit construire un paquet d’états-cohérents comme nucléon prenant en compte la nature de l’état-cohérent. De fait, on va procéder de la même espèce : projectile ou cible, isospin (τ ), spin(σ), poids (ωi). L’idée est de retrouver l’ensemble des étatscohérents qui correspondent au mieux au nucléon qu’on cherche à retranscrire. Pour ce qui est du critère de vraisemblance, on va regrouper les états-cohérents dont le produit scalaire (équation B.29) avec l’état-cohérent maître est le plus élevé. Le produit scalaire prend en compte l’intégralité des propriétés d’un état-cohérent, et le produit scalaire est maximal plus les états-cohérents ont des paramètres (positions, nombres d’ondes, largeurs, …) proches. Le nombre d’états-cohérents dans un paquet est fixé par la condition sur la somme des poids des états-cohérent qui doit être égale à 1 : X i ω A i (σ, τ, λ) = 1 (4.1) Principe de Pauli Si la collision maîtresse a rempli tous les critères car elle est effective, cela implique qu’elle satisfait le principe de Pauli APRES que les états-cohérents maîtres se sont vus attribuer leurs nouvelles impulsions mais bien AVANT l’introduction des corrélations. De fait, il est impératif de vérifier que les paquets d’états-cohérents (ou nucléons) satisfont toujours le principe de Pauli une fois qu’on aura déplacé tous les états-cohérents du nucléon. Donc, une fois que les deux paquets d’états-cohérents se sont vu doter de leurs nouvelles impulsions, on vérifie à nouveau le principe de Pauli de la même façon que dans le terme de collision usuel (détaillé annexe B), c’est-à-dire qu’on va évaluer pour chaque état-cohérent si la diffusion ne viole pas le principe de Pauli sur tout l’espace des phases, en excluant la zone occupée par le nucléon d’appartenance. Cela est justifié par le fait que lors de la formation du paquet, on a groupé des états-cohérents où les produits scalaires sont maximaux, or le principe de Pauli est basé sur la vérification que tous les produits scalaires sont en dessous un seuil. Donc tester le blocage de Pauli d’un état-cohérent avec ses jumeaux (du même paquet) bloquerai quasi-systématiquement la collision. D’ailleurs, si un nucléon (son paquet) viole le principe de Pauli lors de cette vérification, alors on annule tout le processus ainsi que la collision maîtresse. Force est de constater que cette méthode des fluctuations, basée uniquement sur les collisions maîtresses devient de plus en plus restrictive. Dans un premier temps, on diminue la section efficace d’un facteur égale au nombre d’état-cohérent par nucléon. Mais ceci est compensé par le fait qu’on fait collisioner non pas un seul état-cohérent, mais tout un ensemble. Néanmoins, le fait d’appliquer le principe de Pauli aux deux nucléons, statistiquement, la probabilité pour qu’une collision soit acceptée est réduite. Mais, cette collision devrait être plus efficace, au sens où on a créé des corrélations : les états-cohérents d’une même « espèce » se sont vu attribuer des impulsions égales. Au lieu d’avoir une émission d’états-cohérents relativement isotropique (en position, comme on l’a vu dans le chapitre 3), celle-ci sera très dépendante des quelques collisions acceptées.

Conséquences des fluctuations

Cette procédure pour introduire des fluctuations, implémentée sous l’approche décrite précédemment en est à ses balbutiements. Néanmoins, on peut d’ores et déja constater l’effet de ces fluctuations sur le comportement globale de la dynamique. Si l’on s’intéresse à la figure 4.2, on retrouve l’image de la distribution de la dynamique avec collisions (figure 3.10). Mais si l’on compare directement les distributions, on observera le fait que avec fluctuations l’émission est beaucoup moins isotrope et que les états-cohérents sont émis en paquets (qui se désagrègent avec le temps). On remarquera aussi le fait qu’il semble y avoir moins d’émission aussi, cela est engendré par le blocage de Pauli appliqué sur les nucléons qui diminue le nombre de collisions effectives, comme on le voit sur la figure 4.4. Un réajustement du blocage de Pauli propre à une dynamique avec fluctuations est nécessaire. Si l’on porte maintenant notre regard sur l’allure de la distribution dans l’espace des phases de la figure 4.3, on observera sur les images à 100 et 125 [fm/c] que les collisions font déplacer des paquets d’états-cohérents à peu près localisés. A nouveau, on notera qu’il y a moins de collisions que lors du cas du terme de collision sans fluctuation (voir figure 4.4).