Factorisation des entiers par la méthode des courbes elliptiques

Plan affine et courbes sur le plan affine

 Soit K un corps et K sa clôture algébrique. Pour tout entier naturel non nul n, on note par K[x1, x2, . . . , xn] l’anneau des polynômes à coefficients dans K. L’espace affine de dimension n sur K est l’ensemble des n − uplets A n L’espace affine de dimension n sur K est l’ensemble des n − uplets A n L’ensemble des points K-rationnels de A n (K) est défini comme étant : A n (K) = {(x1, x2, . . . , xn); xi ∈ K} Étant donné un polynôme f ∈ K[x1, x2, . . . , xn] et p = (a1, a2, . . . , an) ∈ A n (K) on évalue f en p par : f(p) = f(a1, a2, . . . , an) Si f(p) = 0 on dit que p est un zéro de f. Si S est une partie de K[x1, x2, . . . , xn], le lieu des zéros de S est l’ensemble : V (S) = {p ∈ A n , ∀F ∈ S, F(p) = 0} Définition 1.1.1. Une partie V de A n est un ensemble algébrique affine s’il existe une partie S de K[x1, x2, . . . , xn] tel que V = V (S) On remarque dans ce cas que la partie S engendre l’idéal : I(V ) = {f ∈ K[x1, x2, . . . , xn], ∀p ∈ V, f(p) = 0} . On écrira I(p1, . . . , pr) := I({p1, . . . , pr}) Proposition 1.1.2. V (1) = ∅ ; V (0) = A n (K) L’ensemble vide et l’espace affine sont des ensembles algébriques. Si S est un sous ensemble de K[x1, x2, . . . , xn] et I l’idéal engendré par S alors V (S) = V (I). Si I et J sont deux idéaux de K[x1, x2, . . . , xn] alors on a : V ({f.g; f ∈ I et g ∈ J}) = V (I) ∪ V (J)) : la réunion de deux ensembles algébriques est donc un ensemble algébrique. V (I∪J) = V (I)∩V (J) : l’intersection de deux ensembles algébriques est donc un ensemble algébrique. Soient V et W deux ensembles algébriques de A n (K), alors V = W si et seulement si I(V ) = I(W). Définition 1.1.3. On dit qu’un ensemble algébrique V est irréductible s’il n’est pas vide et qu’il n’est pas réunion de deux sous ensembles algébriques propres. Proposition 1.1.4. Un ensemble algébrique V est irréductible si et seulement si son idéal I(V ) est premier. Démonstration. Supposons V irréductible. Soient F et G deux polynômes tels que F.G ∈ I(V ). Puisque V ⊂ V (F.G) et V (F.G) = V (F) ∪ V (G), on pose V1 = V ∩ V (F) et V2 = V ∩ V (G) et donc V = V1 ∪ V2. Comme V est irréductible, V1 = V ou V = V2 ce qui donne F ∈ V ou G ∈ V . Supposons I(V ) premier, et supposons V réunion de deux sous-ensembles algébriques propres V1 et V2. Il existe deux polynômes F et G tels que F ∈ I(V1)\I(V ) et G ∈ I(V2)\I(V ), mais F.G ∈ I(v), ce qui contredit le fait que I(V ) est premier. Définition 1.1.5. Une variété affine est un ensemble algébrique affine irréductible. Soit V une varité et I(V ) son idéal. – L’anneau K[V ] = K[x1, x2, · · · , xn] I(V ) est appelé l’anneau des coordonnées affines de V . – Puisque l’anneau K[V ] est intègre, son corps des fractions, noté K(V ), est appelé le corps des fonctions de V . Dimension Soit V une variété sur K. On appelle dimension de V le degré de transcendance de son corps des fonctions K(V ) sur K. Remarque 1.1.6. Si V est une variété donnée par un polynôme F ∈ K[x1, x2, . . . , xn] irréductible dans K(c’est à dire absolument irréductible dans K), alors V est une variété affine de dimension n − 1. Une variété de dimension 1 est appelée courbe. 

Plan projectif et courbe sur le plan projectif

Considérons maintenant la relation suivante sur A n+1(K)\{(0, 0, . . . , 0)} comme suit : deux points P = (a1, a2, . . . , an+1) et Q = (b1, b2, . . . , bn+1) de A n+1(K)\{(0, 0, . . . , 0)} sont équivalents (on note P ∼ Q) s’il existe λ ∈ K ∗ tel que P = λQ = (λb1, λb2, . . . , λbn+1) Une classe d’équivalence sera appelée point projectif. Un point projectif est donc une droite affine. On appelle espace projectif de dimension n et l’on note P n , l’ensemble des points projectifs. Un point projectif p = (a1, a2, . . . , an+1) sera noté p = (a1 : a2 : . . . : an+1) Exemple 1.2.1. – P 1 est appelé droite projective. – P 2 est appelé plan projectif.Dans l’espace affine les courbes sont définies comme étant l’ensemble des zéros d’un polynôme ou une famille de polynômes. Mais pour définir une courbe projective, on doit d’abord expliciter ce que veut dire un point est « zéro d’un polynôme » car on peut rencontrer un problème si l’annulation d’un polynôme dépend du représentant. C’est pourquoi on considère des polynômes homogènes c’est à dire tels que tous ses monômes ont même degré. Si f est un polynôme homogène de degré n, il vérifie alors :f(λx1 : λx2 : . . . : λxn+1) = λ n f(x1 : x2 : . . . : xn+1) pour tout λ ∈ K. Pour de tels polynômes, les zéros sont bien définis, puisque l’annulation ne dépend pas du représentant. Soit K[X1, X2, . . . , Xn+1] l’anneau des polynômes homogènes à n + 1 indéterminées. Si S est une partie de K[X1, X2, . . . , Xn+1], le lieu des zéros de S est l’ensemble V (S) = {P ∈ P 2 , F(P) = 0 pour tout polynôme homogène F ∈ S}