Imagerie de chargements locaux en régime de diffusion multiple

Introduction

Dans une multitude de domaines, les ondes constituent un outil essentiel pour sonder un milieu donné. La notion d’onde, qui traduit la propagation d’une perturbation,recouvre une grande variété de phénomènes physiques, de natures très diverses et à différentes échelles. En radiologie médicale, des ondes électromagnétiques de longueurs d’ondes nanométriques (rayons X) sont utilisées pour imager les tissus osseux du patient.En contrôle non destructif, des ondes mécaniques de longueurs d’ondes millimétriques(ultrasons) permettent de détecter et de localiser des zones d’endommagement dans les aciers. Enfin, en géophysique, les ondes sismiques de longueurs d’ondes kilométriques permettent par exemple de sonder la structure interne de la terre, ou de localiser l’épicentre d’un séisme.Comme dans les exemples cités, la majorité des méthodes classiques d’imagerie reposent sur l’utilisation de trajets balistiques de l’onde. Cela suppose que l’onde se propage dans un milieu relativement homogène, comprenant un nombre faible de réflecteurs ou discontinuités à imager. Or une grande partie des milieux naturels ou artificiels sont hétérogènes à une ou plusieurs échelles. La validité de l’hypothèse de propagation balistique dépend en fait du rapport entre la longueur d’onde λ et la taille typique a des hétérogénéités dont le milieu est constitué ainsi que de la longueur des trajets considérés.Lorsqu’une onde rencontre une hétérogénéité dont la taille a est du même ordre de grandeur que sa longueur d’onde λ, celle-ci est diffractée dans différentes directions. Si la longueur d’onde est largement supérieure à la taille de l’objet (λ >> a), la diffraction est moindre. Ce phénomène est appelé diffusion 1 et l’hétérogénéité prend le nom de diffuseur.Dans un milieu hétérogène, ce phénomène peut se produire un grand nombre de fois entre la source (point d’émission de l’onde) et le récepteur (point d’enregistrement). On parle alors de diffusion multiple.Dans certaines situations, la diffusion multiple est imposée par le système étudié.

1. En français, le mot diffusion désigne à la fois ce phénomène d’interaction avec un défaut unique et le processus global de diffusion (particules, chaleur, ondes…) qui résulte pour les ondes d’un grand nombre d’interactions avec les hétérogénéités du milieu. Cette ambiguïté n’existe pas en anglais où le processus unique s’appelle « scattering » et le processus global « diffusion « .C’est le cas lorsqu’on enregistre la réponse à une source naturelle située au cœur d’un milieu complexe (méthode passive). Dans d’autres situations, la diffusion multiple devient inévitable si l’on veut augmenter la sensibilité d’une mesure. C’est le cas en imagerie active, si l’on souhaite détecter un défaut de taille analogue ou plus petite que la taille typique des hétérogénéités constituant le milieu.L’étude de la propagation des ondes en milieu désordonné est ainsi motivée par différentes problématiques :• Comment caractériser la source, ou l’onde incidente, à partir de l’onde transmise à travers un milieu hétérogène ? C’est une problématique récurrente en astrophysique où le rayonnement des astres est altéré par la traversée de nuages interstellaires(Hulst, 1980).• Comment prévoir et modéliser la propagation des ondes dans un milieu aux caractéristiques connues. Cette question se pose par exemple pour décrire le transport des électrons (ondes de matière) dans les métaux et caractériser leur résistivité à basse température.• À l’inverse, comment caractériser un milieu inconnu à partir d’ondes diffusées ?C’est la problématique générale de l’imagerie, commune entre autres au domaine médical, à la sismologie et au contrôle des matériaux.La réponse à ces questions dépend bien sûr du degré d’hétérogénéité du milieu étudié,qui peut être quantifié par la comparaison de différentes longueurs caractéristiques. Les Relations d’ordre entre ces longueurs peuvent donner lieu à des régimes de propagation très différents.

Longueurs caractéristiques et régimes de propagation

En plus de la longueur d’onde λ et de la taille typique L du milieu étudié, trois grandeurs permettent de caractériser la propagation des ondes classiques en milieu désordonné :• La longueur d’absorption ℓa est la distance typique après laquelle l’onde a été significativement atténuée par un processus anélastique .• Le libre parcours moyen s’interprète comme la distance moyenne entre deux événements de diffusion. En l’absence d’absorption, c’est la distance typique d’atténuation de l’onde incidente. En milieu dilué, on peut le relier à la section efficaceσ des diffuseurs, ℓ =1nσ, en étant le nombre de diffuseurs par unité de volume.• Le libre parcours moyen de transport ℓ⋆s’interprète comme la distance que doit parcourir l’onde pour perdre la mémoire de sa direction de propagation incidente

Cette atténuation est également appelée atténuation intrinsèque.

(Lagendijk met Van Tiggelen, 1996). Lorsque les diffuseurs du milieu sont petits(a << λ), la diffusion est isotrope et l’on al = ℓ⋆. Si les diffuseurs sont plus grand (a ≈ λ), la diffusion est fortement piquée vers l’avant (direction incidente)et ℓ⋆ > ℓ 3 Dans des milieux où l’absorption est suffisamment faible, on peut délimiter trois principaux régimes de propagation très différents, par degré de désordre croissant :• Le régime de diffusion simple : λ<L ≤ ℓ, ℓ⋆ < ℓa. La longueur d’onde est plus petite que la taille typique du milieu, elle-même plus petite ou de l’ordre du libre parcours moyen. L’onde interagit très peu avec les hétérogénéités du milieu, c’est le régime de validité des méthodes classiques d’imagerie. Si la longueur d’onde atteint la taille typique du milieu, les vibrations correspondent aux modes propres de la structure (ondes stationnaires).

• Le régime de diffusion multiple : λ < ℓ, ℓ⋆ <L<ℓa. Quand le libre parcours moyen est plus petit que la structure, les ondes interagissent de nombreuses fois avec le milieu. L’onde incidente est très atténuée, voire invisible et l’enregistrement est dominé par des arrivées successives d’ondes diffusées. Les méthodes classiques d’imagerie, basées sur les trajets balistiques de l’onde, ne sont plus utilisables.• La localisation est forte : ℓ ≤ λ. Si le libre parcours moyen diminue encore, pour s’approcher de la longueur d’onde, les ondes deviennent « prisonnières » du désordre et l’énergie ne se propage plus. Ce phénomène, découvert à l’origine par Anderson(1958) dans un contexte de physique quantique, a également été observé pour les ultrasons (Hu et al., 2008).Les méthodes d’imagerie en régime de diffusion simple ont largement fait leurs preuves,et ce dans de nombreux domaines. En imagerie médicale par exemple, l’échographie permet de sonder certains organes du corps humain à l’aide d’ultrasons. La sonde est constituée de plusieurs dizaines voire centaines de transducteurs piézoélectriques, qui peuvent tour à tour servir de source et de récepteur. L’hypothèse de base de la méthode est que les signaux enregistrés sont issus d’une interaction unique de l’onde incidente avec les hétérogénéités du milieu (Figure 1.1). Une deuxième hypothèse est que le milieu est constitué d’une matrice de vitesse uniforme comprenant un certain nombre de réflecteurs diffuseurs à imager. Les temps d’arrivées des différents échos sont alors directement reliés à la position des hétérogénéités et l’on peut construire une carte de réflectivité du milieu.En imagerie sismique, le principe reste le même mais une étape préliminaire est nécessaire. La vitesse des ondes dans le sous-sol ne peut pas être considérée comme uniforme à cause des variations physiques (pression, température) et chimiques survenant en profondeur. L’étude des ondes de surface et/ou des ondes réfractées permet dans un premier temps d’obtenir un modèle approximatif de vitesse en fonction de la profondeur.Ensuite, en prenant en compte ce modèle de vitesse, il est possible de construire une carte de réflectivité du milieu, similaire au procédé échographique. Cette carte permet principalement de localiser les interfaces entre les différentes couches géologiques du sous-sol. Elle peut ensuite permettre aux géologues des compagnies pétrolières d’estimer la probabilité de trouver du pétrole.Figure 1.1 – Représentation schématique du régime de diffusion simple (à gauche) et du régime de diffusion multiple (à droite).Mais si le degré d’hétérogénéité du milieu étudié est trop important, les ondes incidentes peuvent subir plusieurs diffusions avant d’atteindre le récepteur (Figure 1.1).L’équivalence entre temps d’arrivée et position d’un diffuseur est perdue et l’utilisation des méthodes classiques d’imagerie n’est plus possible.Dans ce régime, la propagation d’onde s’apparente à une marche aléatoire et l’intensité est gouvernée par l’équation de diffusion. Les propriétés ondulatoires de l’onde semblent avoir disparu pour laisser place à une interprétation classique comparable au transport des particules. La perte apparente des propriétés ondulatoires ainsi que l’inadéquation avec les méthodes d’imagerie ont sûrement contribué au démarrage tardif de l’étude approfondie de ce régime. C’est la découverte de phénomènes d’interférences,comme la localisation forte, qui a relancé dans les années 50 l’intérêt des physiciens du solide pour l’étude des ondes dans les systèmes désordonnés.Ce regain d’intérêt pour les systèmes désordonnés a également suivi dans différents domaines qui impliquent la propagation d’ondes classiques. Parmi les phénomènes étudiés actuellement, certains ont un lien fort avec la diffusion multiple et s’appliquent à différentes échelles. On peut citer par exemple les corrélations de bruit ambiant (Lobkis et Weaver, 2001; Campillo et Paul, 2003), le retournement temporel (Derode et al.,1995), ou encore la localisation faible (Albada et Lagendijk, 1985; Larose et al., 2004).C’est ce régime de diffusion multiple qui constitue le cadre de ce travail de thèse. Si les travaux présentés dans ce manuscrit peuvent s’appliquer à tous types d’ondes classiques, ils seront illustrés par des simulations numériques d’ondes acoustiques et sismiques, et par des expériences en ultrasons dans le béton.Avant d’introduire la problématique à l’étude, commençons par rappeler brièvement les travaux déjà effectués à l’aide d’ondes sismiques multi-diffusées.

La coda sismique

La croûte terrestre est un milieu qui présente des hétérogénéités à différentes échelles.Les structures sédimentaires sont par exemple constituées de différentes couches, et les ondes sismiques peuvent subir de nombreuses réflexions et réfractions sur les différentes interfaces. Des hétérogénéités sont également présentes dans les régions volcaniques ou dans les zones de failles actives. Dans cette partie superficielle de la terre, les ondes peuvent être simplement ou multiplement diffusées entre leur émission (séisme) et leur enregistrement. Ce phénomène a été questionné dès la fin des années 60 par Aki (1969).Par analogie avec la fin d’un morceau de musique, le terme coda a été choisi pour décrire la partie tardive des sismogrammes, située après les arrivées des ondes directes Tremblement de terre Temps en secondes Amplitude L’onde P directe Onde S directe Coda sismique Figure 1.2 – Exemple de sismogramme généré par un séisme situé à 90 km. On distingue les arrivées directes des ondes P et S puis la série décroissante d’arrivées tardives qui forment la coda 

La complexité des trajets des ondes de la coda empêche toute prédiction exacte du sismogramme. Considérée comme inutile pour l’imagerie et dénuée d’information exploitable, l’étude de la coda est restée limitée jusqu’au milieu des années 80. Celle-cia probablement été initiée par Aki et Chouet (1975), qui ont montré que la décroissance de la coda était caractéristique d’une région donnée, indépendamment de la magnitude du séisme ou de la distance de propagation considérée.Les ondes de la coda se propagent beaucoup plus longtemps que les ondes directes et leur enregistrement constitue une empreinte caractéristique de l’état du milieu à une date donnée. Elle est parfaitement reproductible tant que le milieu et la source restent inchangés. Cette propriété a naturellement fait de la coda un outil idéal pour détecter et mesurer des changements faibles du milieu. Des mesures de variation de la coda ont été appliquées aux zones de failles(Poupinet et al., 1984; Brenguier et al., 2008b; Niu et al.,2008), aux volcans (Poupinet et al., 1996; Snieder et Hagerty, 2004; Sens-Schönfelder et 4. Figure issue de la thèse de Renaud Hennino (non soutenue).Wegler, 2006), aux réservoirs (Meunier et al., 2001), et même à la lune (Sens-Schönfelderet Larose, 2010).Les milieux évoqués ont tous en commun un très fort degré d’hétérogénéité. Si cette propriété atténue fortement les ondes directes et invalide les méthodes de mesure classiques, elle renforce les ondes diffuses et accroît la sensibilité des mesures basées sur la coda. Le milieu joue en quelque sorte le rôle d’un interféromètre naturel et les mesures de variations de vitesse dans la coda se sont répandues sous le nom générique de Coda Wave Interferometry, suite aux travaux de Snieder et al. (2002) et Snieder (2006).Ce terme de Coda Wave Interferometry a été repris par la suite dans d’autres disciplines pour nommer l’utilisation d’ondes multi-diffusées à des fins de surveillance d’un milieu 5. À l’échelle des ultrasons, le béton est un exemple typique de matériau très hétérogène. Constitué de sables et de graviers agglomérés par du ciment, ses hétérogénéités s’étendent de quelques micromètres à quelques centimètres. Une revue des travaux de contrôle du béton à l’aide de la coda ultrasonore fera l’objet du chapitre suivant.À ce jour, quelle que soit la discipline, les études se focalisent majoritairement sur l’estimation du changement global de vitesse s’opérant dans le milieu. Les ondes empruntent des trajets complexes et les mesures dans la coda donnent en effet une estimation moyennée spatialement de la variation réelle de vitesse qui se produit.Une question qui se pose alors est la possibilité d’étudier des changements locaux se produisant dans le milieu. En sismologie, des premiers travaux de régionalisation de changement de vitesse ont été effectués par Brenguier et al. (2008a) et Duputel et al.(2009). Dans sa thèse, Froment (2011) propose également une méthode d’inversion de changement de vitesse associé au séisme de Wenchuan .La problématique de ce travail de thèse est centrée sur l’utilisation de la coda sismique et ultrasonore pour l’étude de changements locaux du milieu.Peut-on les détecter ? Si oui, peut-on les localiser, les caractériser ?Les différents axes de recherche suivis durant la thèse sont exposés à la section suivante.

Plan du manuscrit

Pour commencer, nous passons en revue les récents travaux de contrôle du béton basés sur l’étude de la coda ultrasonore (chapitre 2).Nous rappelons ensuite un certain nombre d’éléments théoriques et de résultats concernant le régime de diffusion multiple (chapitre 3).5. Pour étudier les milieux où le désordre n’est pas figé, on utilise plutôt les méthodes de Diffusing(Acoustic) Wave Spectroscopy (Pine et al., 1988; Cowan et al., 2002)6. Le 12 mai 2008, ce séisme de magnitude 7.9 a causé la mort de plus de 80000 personnes dans la région du Sichuan en Chine.Nous présentons ensuite deux expériences qualitatives pour illustrer la sensibilité de la coda ultrasonore à un changement local du milieu (chapitre 4).Nous utilisons alors les outils théoriques introduits précédemment pour estimer la corrélation des ondes de la coda induite par un changement local de « structure » dans le milieu (fort contraste d’impédance). Ces estimations théoriques sont également confrontées à des simulations numériques en différences finies, dans différentes configurations(chapitre 5).Dans le cas où le changement local est une faible variation de vitesse, l’effet induit sur les ondes de la coda s’apparente principalement à un déphasage. En utilisant les développements du chapitre 5, nous estimons théoriquement la valeur de ce déphasage pour retomber sur un modèle déjà connu (Pacheco et Snieder, 2005). Ce modèle est appliqué à l’étude de la sensibilité de la coda sismique (simulations numériques), dans le cadre d’un travail collaboratif (chapitre 6).Nous abordons ensuite le problème inverse, qui consiste à localiser les changements locaux du milieu à partir des mesures de variations dans la coda. Nous commençons par développer une méthode d’inversion capable de localiser un changement local unique.Cette méthode est testée sur des simulations numériques ainsi que sur une expérience de laboratoire sur un bloc de béton (chapitre 7).Pour finir, en se confrontant à une expérience « réaliste » sur un élément en béton de 15 tonnes, nous soulignons la nécessité de développer une méthode d’inversion plus robuste, capable de résoudre l’apparition de plusieurs changements simultanés dans le milieu. Nous modifions alors la formulation du problème direct et nous adaptons un schéma d’inversion linéaire au sens des moindres carrés. Cette méthode d’inversion est enfin testée sur des données issues de simulations numériques (chapitre 8).