Premiers de Gauss Définition

Soit z E G un entier différent de 0 et des unités. Alors z est premier s ‘il n’existe aucun produit de la forme z = xy, Vx , y E G\ {1 , -1, i, -il. Si z n’est pas premier, alors on dit qu’il est composé. Il est possible d’interpréter la définition 2.35 selon le concept des diviseurs. N’importe quel entier de Gauss est divisible par une unité ou un associé. Par contre, z =1= ° sera premier si les seuls diviseurs de z sont les unités ou ses associés. Car s’il existe un produit de la forme z = xy où, sans perte de généralité, x E {1 , -1, i, -il, alors y est un associé de z. Exemple 2.36. Les nombres 2 et 5 ne sont pas premiers dans G, car 2 = (1 + i)(1 – i) et 5 = (2 + i) (2 – i). Ils ne sont pas uniquement le produit d’un entier de Gauss et d’une unité. Exemple 2.37. Le nombre 3 est un nombre premier dans G. Supposons que 3 n’est pas premier dans G, alors il existe w = a+bi E G tel que w13. Selon la proposition 2.17, Iwl 2 19. Les seuls diviseurs de 9 sont 1, 3 et 9. Si Iwl 2 = 1, alors west une unité, ou si Iwl 2 = 9, alors west un associé de 3, ce que l’on ne veut pas, car 3 est composé.

Il faut donc que Iwl 2 = a2 + b2 = 3. Si a = 0, alors b2 = 3, mais 3 est premier dans Z et il n’existe aucun b. Si a = ±1, alors b2 = 2, mais 2 est premier dans Z, ainsi il n’existe aucun b. Lorsque a ~ 2 ou a ~ -2, b2 = 3 – a2 < O. Alors il n’existe aucune combinaison de a et de b qui donne a2 +b2 = 3. Donc, pour que wl3 dans G, w doit être une unité ou un associé de 3, c’est-à-dire que 3 est premier dans G. Définition 2.38. Deux entiers de Gauss sont relativement premiers entre eux si leur pgcd est une unité. En effet, dans un tel cas, deux entiers ne sont pas associés et n’ont aucun facteur commun et les seuls nombres pouvant les diviser en même temps sont les unités. Il faut se rappeler que les unités divisent tout entier de Gauss. Théorème 2.39. Soit w, z E G. Si p E G est premier et plwz , alors plw ou pl z . Démonstration. Si plw ou pl z , la preuve est terminée. Sans perte de généralité, supposons que pt w. Comme p est premier, ses seuls diviseurs sont ses associés et les unités. Or, aucun associé de p ne divisera w, ce qui ne laisse que les unités. Donc p et w sont relativement premiers et de la définition 2.38 on a que pgcd (p , w) = J. Du théorème 2.34, on a pl z

Démonstration. Soit z E G différent de 0 et d’une unité. Posons Wi E G \ {l, -1, i, -i}, pour i E {l, 2, … , n}. Si z est premier, la preuve est terminée. Supposons que z est composé. Par la définition 2.35, il existe Wl et W2 tels que z = Wl W2. Comme Wl et W2 ne sont pas des unités, ils ne sont pas des associés de z. La proposition 2.21 nous donne IWll2 < Izl2 et IW212 < Iz12. Si Wl et W2 sont premiers, on a terminé. Si au moins un des deux est composé, on le décompose en un produit de facteurs Wi. Prenons le cas où Wl est composé. On pose Wl = W3W4 et on regarde la primalité de W3 et W4. Et ainsi de suite. La proposition 2.21 nous assure que chaque Wi subséquent vérifiera un emboitement de la forme 0 < Iwn l2 < … < IW312 < IWll2 < Iz12. On note que tous les Wi =1= 0, car s’il existe un certain Wk = 0, où k E {l , 2, 3, … n}, on aurait z = 0, une contradiction avec l’hypothèse. Comme les normes sont des nombres entiers, le processus a un nombre fini d’itérations.

On obtient z sous la forme d’un produit de nombres premiers de Gauss, soit z = PlP2P3 … Pro Supposons que cette représentation n’est pas unique, c’est-à-dire que z = PlP2P3 … Pr = qlq2q3· .. qs tel que les Pi et les qj sont des nombres premiers et pas forcément distincts. On simplifie l’équation en éliminant tous les nombres premiers identiques qui sont dans les deux membres. De plus, si un Pi est l’associé d’un qj , on les simplifie en conservant l’unité de l’associé. La simplification donne: qui ne contient aucun doublon ni associé, où ct ~ r, f3 ~ s et où l est la multiplication de toutes les unités restantes dû à la simplification. Or, par le théorème 2.39, on a Pillqh qhqj3 … qjfJ · Comme Pill %ll qh’ qj3’··· sont tous des nombres premiers, on utilise le corollaire 2.41. Ainsi, il existe p, E {l, 2, … , f3} et une unité Il tels que Pil h = %1′. Nous obtenons une contradiction avec le fait qu’il ne doit pas y avoir d’associés. Ainsi, la représentation est unique, aux associés près. • Lemme 2.43. Soit x E Z. Si x est pair, alors x2 est pair et x2 – 0 (mod 4). Si x est impair, alors x2 est impair et x2 1 (mod 4). Démonstration. Si x est pair, alors x = 2kl , kl E Z. Donc x2 = 4k~ = 2(2kf), d’où x2 est pair. De plus, x 2 = 4kî =? x2 – 0 = 4(kî) =? x2 – 0 (mod 4). Si x est impair, alors x = 2k2 + 1, k2 E Z. Donc x 2 = 4ki + 4k2 + 1 = 2(2ki + 2k2) + 1, d’où x2 est impair. De plus,

L’hyperbole équilatère

Une hyperbole est le lieu géométrique de tous les points tels que la différence des distances entre ce point et deux points fixes , appelés les foyers, est constante. Nous sommes en mesure de construire géométriquement ce lieu où l’on obtient l’équation (x – xa? a2 (3 .3) Cette équation possède quatre paramètres: a la demi-longueur de l’axe transversal; b la demilongueur de l’axe conjugué; Xa et Ya les coordonnées du centre de l’hyperbole, soit le point par lequel passent l’axe transversal, l’axe conjugué et les asymptotes. La différence constante des distances est en fait la longueur de l’axe transversal, c’est-à-dire 2a. C’est aussi la distance entre les deux sommets SI(Xa+a, Ya) et S2(Xa-a, Ya) situés sur ce même axe. Les asymptotes, qui sont des droites affines, sont données par YI = ~(x – xa) + Ya et Y2 = -~(x – xa) + Ya· On obtient par l’équation (3.3) une hyperbole dite horizontale, car l’axe transversal est perpendiculaire à l’axe des abscisses. On dira d’une hyperbole qu’elle est équilatère si les asymptotes sont perpendiculaires entre elles, c’est-à-dire si a = b. De plus, les deux foyers sont situés aux points d’intersection du cercle d’équation (x – xa? + (y – Ya)2 = a2 + b2 et de la droite passant par les sommets. Il y a toujours deux branches à une hyperbole, qui sont le miroir l’une de l’autre. Il est possible de faire deux réflexions à l’aide des axes transversal et conj ugué. La figure 3.19 donne un exemple de fonctions hyperboliques. On a sensiblement les mêmes résultats si l’hyperbole est verticale, c’est-à-dire si son équation générale est de la forme _(X _—–,-X_O ),-2- = 1. a2 Il existe aussi des hyperboles obliques, mais elles ne seront pas étudiées ici. Dans le cas d’une hyperbole équilatère centrée à l’origine, si on pose dans l’équation (3.3) les valeurs Xo = 0, yo = 0 et p = a = b, on obtient l’équation Un exemple simple d’une hyperbole équilatère est donnée par la fonction y = ~, centrée à l’origine, dont ses asymptotes sont y = 0 et x = O.

Les premiers hyperboliques non triviaux y aurait-il une sous-classe de Z[j] qui admettrait des nombres premiers autres que triviaux? Évidemment, il faut donner une définition de ces potentiels nouveaux nombres premiers. Regardons ce qui se produit lorsque l’on considère la classe des entiers tels que Izlh > 0 avec I z l~ = x2 – y2 = a(3 > O. Définition 4.18. En base idempotente, l’ensemble des hyperboliques ayant Ci, /3 > 0 est noté JI)J+ et l’ensemble des hyperboliques ayant Ci, /3 < 0 est noté JI)J- de la façon suivante: JI)J+ = {Cie + /3e* : Ci> 0,/3 > O}; JI)J- = {Cie + /3e* : Ci < 0,/3 < O}. Ainsi, {z = x+yj : x 2_y2 > O} = JI)J+UJI)J- . Cet ensemble est fermé sous la multiplication. En effet, si Zl = Cil e + /31 e* et Z2 = Ci2e + /32e*, alors Zl E JI)J+,Z2 E JI)J+::::} CilCi2 > 0 et /31/32 > O::::} ZlZ2 E JI)J+; Zl E JI)J+, Z2 E JI)J- ::::} Cil Ci2 < 0 et /31/32 < 0 ::::} ZlZ2 E JI)J-; Zl E JI)J-, Z2 E JI)J+ ::::} Cil Ci2 < 0 et /31/32 < 0 ::::} Zl Z2 E JI)J-; Zl E JI)J-, Z2 E JI)J- ::::} Cil Ci2 > 0 et /31/32 > 0 ::::} Zl Z2 E JI)J+ . ous allons définir une nouvelle classe de nombres, appelés les nombres premiers non triviaux et qui appartiennent à JI)J+ U JI)J-. On motive le choix de l’appellation entre autres par leur définition. Définition 4.19. Un nombre entier hyperbolique Z = Cie + /3e* E JI)J+ U JI)J- est un premier non trivial si Ci et /3 sont des entiers premiers. Il faut noter que la restriction de Z[j] à l’ensemble JI)J+ U JI)J- entraîne quelques modificat ions.

Il n’existe désormais plus que deux unités, à savoir l e + l e* = 1 et – l e – l e* = -1, car les signes doivent être identiques. Cela a aussi comme répercussion que chaque nombre a un seul associé (de signe contraire). Exemple 4.20. Les nombres 3e + 5e*, – 7 e – 23e* et – 2e – 2e* sont des premiers non triviaux. L’ensemble contenant tous les premiers non triviaux, noté 1P, sera lP = {z = Cie + /3e* : Z E JI)J+ U JI)J- et Ci, /3 sont premiers}. La sélection de ce symbole reflète le caractère premier en chacune des deux composantes. Regardons ce qui se produit pour des nombres de la forme ±Cie ± l e* ou ±le ± /3e*, avec Ci, /3 impairs. Sans perte de généralité, concentrons-nous sur ±Cie ± l e* . Par le théorème fondamental de l’arithmétique 1.14, supposons Ci = 2oCirlCi~2 … Ci~s, où !-li E N. Les diviseurs de ±l sont ±l et les diviseurs de Ci sont toutes les combinaisons parmi les exposants et les signes des Cii. Tous les diviseurs de ±Cie ± l e* sont donc de la forme où 0 ::; Ài ::; Mi. Comme ±1 n’est pas un nombre premier, dès lors ±a;1 a;2 . . . a;se± le* tf.1P’. Pour cette raison, on enlèvera de l’ensemble J]))+ U J]))- les nombres hyperboliques situés sur les droites y = x + 1, Y = x – 1, Y = -x + 1 et y = – x – 1 (en notation cartésienne), ou encore a = ±1 et f3 = ±1 (en notation idempotente) . L’ensemble actualisé donne t><l := {z = ae + f3e* : z E J]))+ U J]))-, a =1- ±1, f3 =1- ±1}. Le symbole est apparenté à la forme des nombres z satisfaisant x2 – y2 > O.

La restriction de l’ensemble n’enlève aucun point de IP’, c’est-à-dire que IP’ C t><l C J]))+ U J]))-. La figure 4.21 illustre les ensembles IP’, t><l et J]))+ U J]))- . (Voir l’annexe D pour le code Maple.) FIGURE 4.21 – Nombres premiers hyperboliques non triviaux. Les droites y = x et y = -x sont les hyperboliques non inversibles. Les demi-droites y = x + 1, Y = x – 1, Y = -x + 1 et y = -x – 1 sont les nombres hyperboliques de la forme ±ae±le* et ±le±f3e* . Être premier fait référence à avoir un produit d’une unité et d’un associé. Dans les premiers triviaux, on décomposait n’importe quel entier hyperbolique en facteurs de premiers triviaux. Est-il possible de faire des décompositions similaires en n’ayant que des facteurs appartenant à IP’? Notons que la définition 4.7 sur les diviseurs reste la même dans les premiers non triviaux. Parmi les décompositions possibles, si le seul facteur appartenant à IP’ est lui-même ou son associé, la définition est similaire à celle d’un nombre premier usuel. Cependant, dans J]))+UJ]))-, il y a les facteurs avec ±1 que l’on ne veut pas considérer, mais qui sont enlevés de t><l. Conséquemment, les nombres seront premiers dans t><l s’ils ont seulement eux-mêmes et leur associé comme diviseur appartenant à P. Ils sont dits non triviaux, car on modifie la définition même de la primalité, restreignant les diviseurs à P et non à l’ensemble en entier. Ci-dessous nous avons une caractérisation des premiers non triviaux qui permet de comprendre l’ampleur de l’appellation de ces nombres introduits dans ce mémoire. Théorème 4.22. Les nombres dans P sont les seuls nombres de l’ensemble [><J à admettre comme diviseurs dans [><J uniquement eux-mêmes et leur associé appartenant à P. Démonstration. Soit z = ae + j3e* E [><J. Il est évident que zlz, ainsi z admet lui-même comme diviseur dans [><J. Par le lemme 4.11, tout associé de z le divisera aussi. Si z tf.P, alors z est son propre diviseur, mais n’appartient pas à P. Si z E P, alors a et 13 sont des entiers premiers de même signe .