Les IR-Algèbres de divisions linéaires de dimension finie

 Les Généralités et prérequis

Dans tout se qui suit K désigne un corps commutatif de caractéristique nulle. 

Les Algèbres de dimension finies Définition 

Une algèbre sur K est une structure algèbrique qui se défénie comme suit : ( A,+,.,×) est une algèbre sur K ou simplement une K-algèbre si : – K est un corps commutatif. – ( A,+,.) est un espace vectoriel sur K. – La loi × est définie de A × A dans A (loi de composition interne) – La loi × est distributive par rapport `a la loi +. – ∀(a, b) ∈ K2 et ∀(x, y) ∈ A2 , (ax) × (by) = (ab) × (xy) . 9 L’opérateur bilinéaire est souvent désigné comme la multiplication dans A. Deux algèbres A et B sur K sont isomorphes s’il existe une bijection f :A−→B telle que : f(x.y) = f(x)f(y) ∀x,y∈A f(x + ay) = f(x) + af(y) ∀x,y∈A et a∈ K. 1.1.2 Exemples d’algèbres de dimension finie 1. Algèbres associatives et commutatives : – L’ensembles des nombres complexes (C, +, ., ×) est une R-algèbre associatives unitaire et commutative de dimension 2. Une base de l’algèbre C est constituée des éléments 1 et i, la table de multiplication est constituée des relations 1 × 1 = 1 1 × i = i i × 1 = i i × i = −1 . On peut démontrer que toute algèbre unitaire de dimension 2 sur un corps est associative ( Bourbaki, algèbre, chapitre 3.p.13 proposition 1) sa table de multiplication dans une base (1, x) est de la forme 1 × 1 = 1 1 × x = x x × 1 = x x 2 = a1 + bx . – Par exemple le corps fini F4 est une algèbre de dimension 2 sur le corps (F2 = Z/2Z) dont la table de multiplication dans une base (1, a) est : 1 × 1 = 1 1 × a = a a × 1 = a a × a = 1 + a 2. Algèbres associatives et non commutatives : La définition est la mˆeme dans le cas d’algèbre associative sauf ici on n’a pas de commutativité. On donne simplement des exemples. 10 – L’ensemble des matrices carrées d’ordre n ≥ 2 `a valeur dans R, (Mn(R), +, ., ×) est une R-algèbre associative, unitaire et non commutative de dimension n 2 . – L’ensemble des quaternions (H, +, ., ×) est une R-algèbre associative, unitaire et non commutative de dimension 4. – L’ensemble des biquaternions (B, +, ., ×) est une C-algèbre associative, unitaire et non commutative de dimension 4 qui est isomorphe `a l’algèbre (M2(C), +, ., ×) des matrices carrées d’ordre 2 `a valeur dans C. 3. Algèbre unitaire non associative : – L’ensemble des octonions (O, +, ., ×) est une R-algèbre unitaire, non associative et non commutative de dimension 8. – L’espace euclidien (R 3 ) muni du produit vectoriel (R 3 , +, .,∧) est une R-algèbre non unitaire,et non commutative (elle est anti-commutative) de dimension 3. La table de multiplication dans une base orthonormale directe (−→U , −→V , −→W) est −→U ∧ −→U = −→0 −→U ∧ −→V = −→W −→U ∧ −→W = − −→V −→V ∧ −→U = − −→W −→V ∧ −→V = −→0 −→V ∧ −→W = −→U −→W ∧ −→U = −→V −→W ∧ −→V = − −→U −→W ∧ −→W = −→0 . – L’ensemble des matrices carrées d’ordre n ≥ 2 `a valeur dans R, muni du crochet de Lie :[M, N] = MN − NM, (Mn(R), +, ., [.]) est un R-algèbre non associative non unitaire et non commutative de dimension n 2 . Elle est anti-commutative et posséde des propriétés qui font de l’algèbre une algèbre de Lie. 4. Algèbre `a puissances associatives les puissances `a gauche d’un élément a d’une K-algèbre A sont définis par a 1 = a et a n+1 = aan pour tout n ∈ N ∗ . L’algèbre A est dite `a puissances associatives si la 11 sous-algèbre [a]A est associative pour tout a ∈ A, ce qui est équivalent `a dire que a na m = a n+m pour tout n; m ∈ N ∗ et pour tout a ∈ A. 5. Algèbre non `a puissances associatives : L’algèbre réelle C∗ de Mc Clay[A], ayant pour espace vectoriel sousjacent C et pour produit z Jz 0 = zz 0 , z étant le conjugué de z, est commutative et n’est pas `a puissances associatives.♦ Définition 1.1.2. Soit A une K-algèbre, on dit qu’une partie S, non vide A, engendre linéairement A, si S est une partie génératrice de l’espace vectoriel A. On note [S]A la sous-algèbre de A engendrée par S. La sous-algèbre engendrée par un élément a ∈ A est notée [a]A ou K(a). Si A est unitaire et si x1, . . . , xn sont des éléments de A − {1}, alors la sousalgèbre de A engendrée par la partie {1, x1, . . . , xn} est notée KA[x1, . . . , xn]. La dimension de l’algèbre A est la dimension de l’espace vectoriel A. Si B = {ui : i ∈ I} est une base de l’algèbre A, c’est `a dire base de l’espace vectoriel A, alors pour tous i,j∈ I on a uiuj = X k∈I λijkuk (1). o`u les λijk sont des éléments de K, nuls, sauf pour un nombre fini d’indices k ∈ I. Les rélations (1) s’appelent la table de multiplication de A relativement `a la base B. Réciproquement, si B = {ui : i ∈ I} est une base d’un K-espace vectoriel A, étant donnée une famille λijk ∈ K : i, j, k ∈ K telle que, pour tous i, j ∈ K fixés, les λijk o`u k ∈ I, sont nuls, sauf pour un nombre fini, il existe alors sur A une seule structure de K-algèbre pour laquelle les relations (1) sont satisfaites ([Bou.70]A III p.10 ♦ Lemme 1.1.1. ([Roc1] p.2)Soit A une K-algèbre et soit S une partie non vide de A. Alors pour tout λ ∈ K − { 1 2 }, la sous-agèbre de A(λ) engendrée par S coincide avec la mutation λ de la sous-algèbre de A engendrée par S : [S]A(λ) = ([S]A ) (λ) .♦ 12 Note Un ensemble minimal d’identités assurant l’associativité des puissances et qu’une K-algèbre A est `a puissances associatives si et seulemnt si elle satisfait aux 2 identités (x, x, x) = (x, x, x2 ) = 0 ∀x ∈ A, notons que ces 2 identités entrainent (x 2 , x, x) = 0 ∀x ∈ A c’est des résultats de Albert dans ([A, 48]p.554) Soit A une K-algèbre et soient x,y∈ A. Pour motif de simplification. nous aurons l’occasion d’utiliser les notations suivantes : 1. x • y = xy + yx. 2. Lx + Rx = Vx. 3. LxLy + LyLx = Lx,y. 4. RxRy + RyRx = Lx,y. Proposition 1.1.1. Soit A une K-algèbre qui satisfait `a l’identité (x, x, x) = 0 pour tout x ∈ A.Alors les trois propositions sont équivalentes : 1. A est `a puissances associatives. 2. A satisfait `a l’identité (x, y, x • z) + (x, z, x • y) + (y, x, x • z) + (x, x, y • z) + (z, x, x • y) + (y, z, x2 ) + (z, y, x2 ) = 0 pour tous x, y, z ∈ A 3. A satisfait `a l’identité (x • z, y, x) + (x • y, z, x) + (x • z, x, y) + (y • z, x, x) + (x • y, x, z) + (x 2 , z, y) + (x 2 , y, z) = 0 pour tous x, y, z ∈ A. Preuve. 1) =⇒ 2) est établie dans ([Sc.66]p.129). 2) =⇒ 1) on fait y = z = x et on utilise la note 1.1.2.4. 1) =⇒ 3) s’obtient de la mˆeme fa¸con.♦ Corollaire 1.1.1. Soit A une K-algèbre `a puissances associatives, alors pour tout entier m ≥ 2 et pour tout x ∈ A, Lxm et Rxm appartiennent `a la sous-algèbre de EndK(A) engendrée par Lx, Rx, Lx2 et Rx2 et on a : 1. 3Rxm+1 = (2Vxm−Lx,xm−1 Vx+(2Rx2−Rx 2 )Vxm−1−2LxRxm−Lxm−1Rx2 . 13 2. 3Lxm+1 = (2Vxm−Rx,xm−1 Vx+(2Lx2−Lx 2 )Vxm−1−2RxLxm−Rxm−1Lx2 . Preuve. Les deux identités 1) et 2) s’obtiennent des identitités 2) et 3) de la proposition 1.1.1. précédente en faisant z = x m−1 . La première proposition s’obtient alors des identités 1) et 2) par récurrence sur m.♦ On montre dans ([Sc.66)Lemme 5.3) le résultat intéressant suivant : Lemme 1.1.2. Soit A une K-algèbre `a puissances associatives et sans diviseurs de zéro. Si A contient un idempotent non nul e, alors A est unitaire d’unité e.♦ Définition 1.1.3. (Algèbre algébrique) Soit A une K-algèbre `a puissances associatives unitaire et soit K[X] l’algèbre des polynˆomes `a une indéterminée `a coefficients dans K. Un élément a ∈ A est dit algébrique s’il existe un polynˆome P ∈ K[X] − {0} tel que P(a) = 0, ce qui est équivalent `a dire que la dimension de la K-algèbre KA[a] est finie. L’agèbre A est dite agébrique si tous ces éléments sont algébriques.♦ Algèbre flexible Une K-algèbre A est dite flexible si elle satisfait `a l’une des deux identités équivalentes suivantes : 1. (x, y, x) = 0 pour tous x, y ∈ A. 2. [Lx, Rx] = 0 pour tout x ∈ A. Il est clair qu’une K-algèbre associative ou commutative est flexible.♦ Proposition 1.1.2. Dans une K-algèbre A, les deux opérateurs linéaires Lx(Lx + Rx) − Lx2 et Rx(Lx + Rx) − Rx2 coincident. On les notes Ux preuve. La proposition s’obtient par une linéairisation de l’identité (x, x, x) = 0 et en tenant compte de la flexibilité de A.♦ 14 Algèbre Alternative Une K-algèbre A est dite alternative si elle satisfait aux deux identités suivantes (y, x, x) = (x, x, y) = 0 pour tous x, y ∈ A.♦ Il est bien connu, selon un théorème d’Artin, qu’une K-algèbre A est alternative si et seulement si deux élément quelconques de A engendrent une sous-algèbre associative [Sc.66]p.29). de plus A satisfait aux trois identités de Moufang suivantes [Sc.66]p.28) : 1. x