Méthode orientée haute-fréquence Modèle Edge Source Integral Equation ou modèle de diffraction

Dans ce chapitre, on présente le modèle ESIE (ou BTM pour Biot-Tolstoy-Medwin) et l’utilisation qu’on en a faite pour prédire le rayonnement acoustique d’une enceinte. On commence par redémontrer la formule de Svensson de diffraction par une arête finie avec la méthode de Pierce plutôt que celle de Biot. Cette démarche nous permet de faire une inter- prétation fine de cette formule. On montre également comment étendre la méthode d’une source monopolaire au cas d’une source étendue. On présente ensuite l’implémentation et les résultats obtenus avec cette méthode. Une comparaison succincte avec l’implémenta- tion de Svensson, rendue disponible récemment, est effectuée. La méthode est efficace pour toutes les fréquences. En terme de temps de calcul, la méthode est très efficace lorsque le nombre de receveurs (ou micros) souhaité est faible. Par rapport aux éléments finis, la méthode ESIE est plus efficace à l’ordre 2 pour n’importe quel nombre de receveurs et à tous les ordres pour une centaine de receveurs. La méthode permet également de visualiser le champ acoustique rayonné par une enceinte sous la forme d’une somme de champs diffractés de différent ordre. Cela nous permet d’en faire une interprétation plus fine, notamment à propos du Beffle step response. On montre également que la direction du maximum d’intensité varie de manière contre-intuitive en fonction de la position du haut-parleur sur le baffle.

Dans ce chapitre, on utilise un modèle de diffraction pour décrire le rayonnement d’une enceinte. Le rayonnement est vu comme une somme de contributions : la contribution du champ direct provenant de la source et indépendant de l’enceinte et les contributions de celle-ci. Ces dernières sont vues comme un ensemble de sources secondaires sur les arêtes. Cette décomposition qui fait apparaître des sources bien localisées, nous permet de faire une interprétation physique de certains effets observés dans les chapitres précédents.La diffraction du son provenant d’un haut-parleur par son enceinte est un phéno- mène qui a été remarqué très tôt. Elle est souvent interprétée en terme d’interférence du champ direct avec les sources secondaires situées sur les arêtes. Plus précisément, lors de l’étude de la réponse en fréquence dans l’axe du haut-parleur, on observe la présence de fréquences de résonance spécifiques, que l’on peut relier aux dimensions géométriques du baffle. La première étude en ce sens est l’étude expérimentale d’Olson [96]. L’interprétation est similaire aux théories géométriques de la diffraction et leurs approches par rayons. Ces théories sont valables en haute-fréquence uniquement. Il faut attendre 1986 pour que Bews [13] applique la GTD (Geometrical Theory of Diffraction) de Keller [59] pour retrouver les résultats d’Olson. Mais son application est fortement critiquée par ses pairs, à cause des propriétés incorrectes de la phase du champ diffracté. Il y aura d’autres modèles dediffraction, comme par exemple celui de Vanderkooy [149] basé sur un modèle de Biot- Tusltoy-Medwin (BTM) simplifié, qui essuieront différentes critiques. En 1997, Wright fait une revue des applications à une enceinte rectangulaire de différentes théories de la dif- fraction [159]. Ces théories sont toutes des approximations. Il souligne les contradictions d’interprétation des différents auteurs, et met ainsi en évidence la difficulté d’interpréter et de modéliser correctement le rayonnement d’une enceinte. On peut ajouter à ces approxi- mations le modèle DED (pour Dipole Edge Diffraction) d’Urban [145], encore très utilisé aujourd’hui pour sa rapidité mais peu précis, en particulier lorsque l’on est hors de l’axe du haut-parleur. Ces modèles restent peu satisfaisants pour prédire le rayonnement dans tout l’espace et/ou en basse-fréquence. Pour y arriver, il est nécessaire de bien comprendre ce qu’on entend par diffraction.

La diffraction est un phénomène complexe, très étudié, mais pour lequel il n’existe pas de modèle universel. C’est un concept central dans l’étude des ondes électromagnétiques et acoustiques. La définition de la diffraction n’est pas formelle et se base sur une vision mathématique du champ total. Celui-ci est vu comme la somme du champ direct, du champ réfléchi (qui forment à eux deux la partie géométrique du champ total) et du champ diffracté. Par définition, le champ diffracté est la partie restante du champ total lorsqu’on supprime sa partie géométrique. Cette définition élude l’origine physique de la diffraction, et explique, en partie, la difficulté de trouver un modèle général. On peut souligner trois difficultés inhérentes à cette vision. La première est la discontinuité intrinsèque de la partie géométrique, qui n’est pas retrouvée dans le champ total. Il faut donc que le champ diffracté compense la partie géométrique et soit, lui aussi, discontinu. Cela entraîne des problèmes de singularités du modèle aux frontières. La seconde est la validité en basse-fréquence. La partie géométrique du champ total est d’autant plus dominante que la longueur d’onde est faible devant les dimensions de l’objet étudié. C’est l’inverse en basse-fréquence, ce qui rend plus complexe l’étude du champ diffracté dans ce domaine. Enfin, dans le champ diffracté lui-même, il faut distinguer le champ de premier ordre et le champ d’ordre multiple. Le premier représente la résultante de l’interaction du champ direct ou réfléchi avec l’objet qui diffracte. Cette résultante est vue comme une nouvelle source, qui interagit à nouveau avec l’objet, créant le champ d’ordre multiple. Ainsi, même si la source primaire est simple, la complexité du champ de premier ordre sera relative à la complexité de l’objet. L’étude de la diffraction de ce champ peut alors s’avérer très difficile selon l’objet étudié. Pour toute ces raisons, l’étude de la diffraction se fait généralement au cas par cas en fonction des hypothèses du problème.