Modélisation du réseau basse tension dans la bande de fréquence utilisée par les courants porteurs en ligne en bande étroite

Modélisation unitaire des autres composants du réseau

La littérature couvre également la modélisation des autres composants des réseaux électrique BT dans la gamme de fréquences considérée en complément des câbles. Il s’agit en particulier :  Des installations client ;  Des appareils électriques installés chez les clients ;  Des transformateurs HTA/BT… 40 Modélisation des réseaux de distribution BT dans la bande de fréquences CPL Chapitre 1 Etat de l’art de la simulation d’un système électrique et télécom Tous ces équipements peuvent être vus comme des éléments terminaux du réseau d’un point de vue de la propagation de signaux dans la bande de 9 à 500 kHz. Nous décrivons dans ce paragraphe les deux approches qui sont utilisées dans la littérature afin de modéliser ces éléments, puis les méthodes d’identification des caractéristiques de ces équipements. 

Modélisation des installations ou des appareils électriques

Modélisation déterministe

Les appareils électriques peuvent être modélisés individuellement à partir de la connaissance de l’architecture de leurs circuits. Cette approche dite « déterministe » est illustrée dans [23] sur un modèle d’un convertisseur statique. Cette approche fournit d’excellents résultats à la maille d’un équipement, mais elle nécessite une compréhension parfaite du fonctionnement de l’équipement. De plus, devant la diversité des appareils connectés au réseau électrique et la complexité de leurs circuits électroniques, il s’avère compliqué de définir un modèle déterministe générique pour tous les appareils. On ne présentera pas les techniques permettant l’identification des caractéristiques du modèle déterministe car cette modélisation n’a pas été exploitée dans le cadre de ces travaux de thèse. 

Modélisation empirique

Pour pallier les inconvénients des méthodes déterministes discutées au paragraphe précédent, plusieurs travaux de recherche ont choisi des modèles empiriques pour modéliser les éléments terminaux du réseau (équipement consommateur ou producteur, transformateur, installation électrique, éléments de protection [33]). Ces éléments sont représentés de manière générique par une impédance équivalente en parallèle avec une source de bruit dont les paramètres varient en fonction de la fréquence et du temps, comme montré dans la Figure 1-14 :  L’impédance 𝒁𝑺 représente l’impédance d’entrée de l’équipement.  Le courant 𝑰𝑺 est le courant perturbateur généré par l’équipement. Ce type de modélisation est applicable à :  un équipement pris individuellement, comme un transformateur HTA/BT ou un appareil domestique ;  une installation plus complexe comportant des câbles électriques ainsi que des équipements connectés en aval. Le modèle de la Figure 1-14 est alors vu comme un modèle agrégé. Figure 1-14 : Modélisation d’un équipement par un circuit équivalent [18] Modélisation des réseaux de distribution BT dans la bande de fréquences CPL 41 Chapitre 1 Etat de l’art de la simulation d’un système électrique et télécom 

Identification des caractéristiques des installations et des appareils électriques

L’identification des caractéristiques du modèle générique présenté à la Figure 1-14 est traitée de différentes manières dans la littérature. On présente dans ce paragraphe les principales méthodes d’identification de l’impédance d’entrée 𝑍𝑠(𝑓,𝑡). La modélisation des perturbations générées par ces installations et l’identification de leurs caractéristiques sont discutées au chapitre 1.3. 

Caractérisation des appareils électriques

Deux familles de méthodes sont utilisées dans la littérature pour caractériser l’impédance 𝑍𝑠(𝑓,𝑡) du modèle équivalent d’un appareil électrique :  [34] caractérise individuellement chaque appareil domestique en mesurant son impédance d’entrée sous tension selon la procédure décrite au paragraphe A.1 de l’Annexe A. Ce modèle restitue la dépendance à la fréquence de l’impédance de l’équipement. A noter que la majorité des appareils domestiques intègre des alimentations à découpage dont le comportement dépend de leur point de fonctionnement. Une seule mesure ne suffit donc pas à caractériser l’ensemble des points de fonctionnement. Par exemple, des mesures sous tension en fonctionnement et en veille doivent être réalisées.  [18] détermine cinq classes d’appareils domestiques, selon le comportement fréquentiel de leur impédance, établies par des mesures. Il représente ensuite chaque classe par un circuit 𝑅𝐿𝐶 équivalent qui reprend le comportement fréquentiel des équipements de la classe. La Figure 1-15 illustre le modèle moyen de l’impédance de classe 1. Figure 1-15 : Circuit équivalent représentant l’impédance moyenne des appareils de classe 1 .

Caractérisation des installations électriques

Deux familles de méthodes sont régulièrement citées dans la littérature pour déterminer les caractéristiques de l’impédance d’une installation électrique :  Mesure sous tension du comportement de l’impédance de l’installation électrique au niveau de son point de couplage avec le réseau. Cette mesure présente deux difficultés : o Le besoin de réaliser les essais sous tension ; o Le besoin d’isoler la contribution de l’installation de celle du reste du réseau auquel elle est connectée. Ceci peut être réalisée par le biais d’un filtre LCL [17].  Caractérisation unitaire de l’impédance d’entrée de chaque appareil électrique de l’installation et intégration de la contribution des câbles et de la topologie de l’installation. Ces opérations permettent de constituer l’impédance d’accès de l’installation [34]. 42 Modélisation des réseaux de distribution BT dans la bande de fréquences CPL Chapitre 1 Etat de l’art de la simulation d’un système électrique et télécom Cette impédance dépend des caractéristiques des câbles d’alimentation des équipements et des câbles des départs de l’installation (longueur, impédance caractéristique, constante de propagation…), ainsi que de l’impédance d’entrée des appareils. 

Modélisation des transformateurs

Plusieurs types de modélisations des transformateurs existent dans la littérature dans la gamme des fréquences considérées [35].  Une première approche, basée sur la discrétisation des enroulements d’un transformateur en une cascade de circuits élémentaires composés de résistances, d’inductances et de capacités est proposé dans ( [36] et [37]). Il nécessite une connaissance approfondie de la géométrie et des matériaux composant le transformateur. Ce type de modélisation est utilisé pour des études approfondies du comportement interne du transformateur lors de surtensions ou de déformations.  Une deuxième approche consiste à modéliser le transformateur sous forme d’un composant multipôles. Ce composant est représenté soit par une boite noire [38] (Figure 1-16), soit par un modèle d’impédance comme le modèle NIF (Node-to-Node Impedance Function) illustré à la Figure 1-17 [39]. Les méthodes de modélisation et de caractérisation associées sont similaires à celles présentées au paragraphe

pour les appareils électriques

Elles présentent l’avantage d’obtenir un modèle sans nécessiter une grande connaissance physique des caractéristiques du transformateur. Figure 1-16 : Modèle boite noire à n bornes Figure 1-17 : Modèle NIF d’un transformateur monophasé 

Assemblage des modèles unitaires des composants 

Méthodes des matrices de chaîne En considérant un réseau dont les câbles sont modélisés par des matrices [𝐴𝐵𝐶𝐷]𝑖 (§1.2.3.5.1), le réseau électrique complet est représenté par une succession de quadripôles mis en cascade ou en parallèle selon la topologie du réseau. Dans le cas d’un réseau triphasé composé de 𝑁 lignes de transmission couplées (Figure 1-18), la matrice chaîne globale [𝐴𝐵𝐶𝐷]𝑮 est le produit des matrices [𝑨𝑩𝑪𝑫]𝒊∈[𝟏−𝑵] élémentaires de chaque ligne. Chaque matrice [𝐴𝐵𝐶𝐷]𝑖∈[1−𝑁] est définie par l’équation (1-40). Modélisation des réseaux de distribution BT dans la bande de fréquences CPL 43 Chapitre 1 Etat de l’art de la simulation d’un système électrique et télécom Figure 1-18 : Exemple d’un réseau BT composé de N lignes couplées modélisées par des matrices ABCD A l’aide de la matrice [𝐴𝐵𝐶𝐷]𝑮 et les conditions aux limites (forces électromotrices [𝐸] (f.e.m.) du générateur, l’impédance d’entrée [𝑍𝑒 ] du générateur et l’impédance de sortie [𝑍𝑠 ]), deux types de fonctions de transfert sont calculées sous forme de matrices de dimension 3×3 pour chaque fréquence 𝑓 [24] :  [𝐻𝑉𝑠 𝐸 ], la fonction de transfert entre les tensions de sortie [𝑉𝑠 ] (au point d’observation) et les f.e.m [𝐸] du générateur (1-43).  [𝐻𝑉𝑠 𝑉𝑒 ], la fonction de transfert entre les tensions à la sortie [𝑉𝑠 ] et les tensions à l’entrée [𝑉𝑒 ] observées à la sortie du générateur (1-44). [𝐻𝑉𝑠 𝐸 ] = [ 𝐻11 𝐻12 𝐻13 𝐻21 𝐻22 𝐻23 𝐻31 𝐻32 𝐻33 ] avec 𝐻𝑖𝑖 = 𝑉𝑠𝑖 𝐸𝑖 et 𝐻𝑖𝑗 = 𝑉𝑠𝑗 𝐸𝑖 (1-43) [𝐻𝑉𝑠 𝑉𝑒 ] = [ 𝐻′11 𝐻′12 𝐻′13 𝐻′21 𝐻′22 𝐻′23 𝐻′31 𝐻′32 𝐻′33] avec 𝐻′ 𝑖𝑖 = 𝑉𝑠𝑖 𝑉𝑒𝑖 et 𝐻′ 𝑖𝑗 = 𝑉𝑠𝑗 𝑉𝑒𝑖 (1-44) Où :  les termes diagonaux correspondent aux fonctions de transfert liées à une transmission et une réception par la même ligne de transmission 𝑁𝑃𝑖 avec (𝑖 = 1, 2 ou 3) ;  les termes non diagonaux correspondent aux fonctions de transfert liées à une transmission par la ligne 𝑁𝑃𝑖 et une réception par la ligne 𝑁𝑃𝑗 (𝑗 ≠ 𝑖) à cause du couplage inductif et/ou capacitif. [𝐻𝑉𝑠 𝑉𝑒 ] = [ 𝐴11 + 𝐵11 𝑍𝑠1 𝐴12 + 𝐵12 𝑍𝑠2 𝐴13 + 𝐵13 𝑍𝑠3 𝐴21 + 𝐵21 𝑍𝑠1 𝐴22 + 𝐵22 𝑍𝑠2 𝐴23 + 𝐵23 𝑍𝑠3 𝐴31 + 𝐵31 𝑍𝑠1 𝐴32 + 𝐵32 𝑍𝑠2 𝐴33 + 𝐵33 𝑍𝑠3 ] −1 (1-45) Où : Les termes 𝐴𝑖𝑗 et 𝐵𝑖𝑗 avec (𝑖 et 𝑗 = 1, 2 ou 3) sont les coefficients de la matrice [𝐴𝐵𝐶𝐷]𝑮 [𝐻𝑉𝑠 𝐸 ] = ([𝐻𝑉𝑠 𝑉𝑒 ] −1 + [𝐾]) −1 (1-46) 44 Modélisation des réseaux de distribution BT dans la bande de fréquences CPL Chapitre 1 Etat de l’art de la simulation d’un système électrique et télécom Où : [𝐾] = [ 𝑍𝑒1(𝐶11 + 𝐷11 𝑍𝑠1 ) 𝑍𝑒1(𝐶12 + 𝐷12 𝑍𝑠2 ) 𝑍𝑒1(𝐶13 + 𝐷13 𝑍𝑠3 ) 𝑍𝑒2(𝐶21 + 𝐷21 𝑍𝑠1 ) 𝑍𝑒2(𝐶22 + 𝐷22 𝑍𝑠2 ) 𝑍𝑒2(𝐶23 + 𝐷23 𝑍𝑠3 ) 𝑍𝑒3(𝐶31 + 𝐷31 𝑍𝑠1 ) 𝑍𝑒3(𝐶32 + 𝐷32 𝑍𝑠2 ) 𝑍𝑒3(𝐶33 + 𝐷33 𝑍𝑠3 ) ] Les termes 𝐶𝑖𝑗 et 𝐷𝑖𝑗 avec (𝑖 et 𝑗 = 1, 2 ou 3) sont les coefficients de la matrice [𝐴𝐵𝐶𝐷]𝑮 1.2.5.2 Méthode des matrices S Pour modéliser un réseau complet constitué de 𝑁 lignes bifilaires représentées par leurs matrices élémentaires [𝑆]𝑖∈[1−𝑁] (Figure 1-19), nous utilisons la matrice équivalente [𝑆]𝑮 résultante de la mise en cascade des matrices [𝑆]𝑖∈[1−𝑁] . Par définition, la matrice [𝑆] n’est pas chaînable. Nous devons donc définir des nouvelles matrices [𝑇]𝑖∈[1−𝑁] dites matrices de transmission qui peuvent être chainées ( [31], [40] et [41]). Figure 1-19 : Représentation de N lignes bifilaires en cascade modélisées par des matrices [S] Par définition la matrice [𝑇] d’un quadripôle est donnée par l’équation (1-47) : [ 𝑏1 𝑎1 ] = [𝑇][ 𝑏2 𝑎2 ] = [ 𝑇11 𝑇12 𝑇21 𝑇22 ][ 𝑏2 𝑎2 ] (1-47) La matrice [𝑇] est exprimée en fonction de la matrice [𝑆] selon (1-48) [40] : [ 𝑇11 𝑇12 𝑇21 𝑇22 ] = [ − 𝑆11𝑆22 − 𝑆12𝑆21 𝑆21 𝑆11 𝑆21 − 𝑆22 𝑆12 1 𝑆21] (1-48) Après avoir déterminé les matrices de transmission individuelles de tous les quadripôles (Figure 1-19), nous déterminons la matrice de transmission résultante [𝑇]𝑮 qui est égale au produit des matrices [𝑇]𝑖∈[1−𝑁] ce qui entraîne (1-49) : [ 𝑏1 1 𝑎1 1 ] = [𝑇]𝐺 [ 𝑏2 𝑁 𝑎2 𝑁 ] = ∏[𝑇]𝑖 𝑁 𝑖=1 [ 𝑏2 𝑁 𝑎2 𝑁 ] (1-49) Une fois la matrice de transmission [𝑇]𝑮 obtenue, la matrice [𝑆]𝑮 est calculée en utilisant (1-50) [40]. Modélisation des réseaux de distribution BT dans la bande de fréquences CPL 45 Chapitre 1 Etat de l’art de la simulation d’un système électrique et télécom [𝑆]𝐺 = [ 𝑇𝐺,12 𝑇𝐺,22 𝑇𝐺,11𝑇𝐺,22 − 𝑇𝐺,12𝑇𝐺,21 𝑇𝐺,22 1 𝑇𝐺,22 − 𝑇𝐺,21 𝑇𝐺,22 ] (1-50) 

Méthodes circuits

Les méthodes circuits reposent sur une représentation matricielle nodale d’un système électrique, basée sur les équations de Kirchhoff. La représentation d’un câble dans la gamme de fréquence des CPL se fait donc de manière indirecte par discrétisation et assemblage de modèles unitaires de faible taille 𝑑𝑥 jusqu’à obtenir le câble complet de longueur 𝐿. Ce processus augmente les temps de résolution dus à l’intégration de ces nœuds intermédiaires dans la matrice nodale. Une fois tous les modèles de câbles du réseau constitués, ils peuvent être assemblés avec les modèles des équipements terminaux pour représenter un réseau dans sa totalité. Plusieurs logiciels de simulation (LTSpice, OpenDSS, Simulink…) peuvent être utilisés pour représenter et simuler de tels systèmes, chacun présentant des avantages et des inconvénients. La Figure 1-20 représente un réseau constitué de trois câbles électriques souterrains et de deux charges, modélisés sous le logiciel LTSpice4 . Chaque câble est représenté sous forme d’un symbole encapsulant 𝑁 modèles unitaires, la valeur de 𝑁 dépendant de la longueur du câble.