Présentation des méthodes de valorisation basées sur les simulations de Monte Carlo

UTILISATION DES SIMULATIONS DE MONTE CARLO PAR LES MODELES ACTUELS 

Simulations de Monte Carlo et valorisation des options financières

Valorisation de l’option européenne Les premiers travaux de valorisation des options financières au moyen des simulations de Monte Carlo sont ceux de Boyle (1977), qui a utilisé cette technique pour valoriser des options de type européen. La démarche consiste à simuler des trajectoires possibles de l’évolution du cours du sous-jacent. Si l’on fait l’hypothèse que celui-ci suit un Mouvement Brownien Géométrique (MBG), on peut simuler la trajectoire d’évolution du sous-jacent S en utilisant la relation suivante : ( 2/² ) 1 r z St St e −δ −σ +σ = − , où z est une variable stochastique suivant une loi normale centrée réduite. On obtient ainsi un ensemble de valeurs possibles du sous-jacent à l’échéance, à partir duquel on peut calculer la valeur de l’option. D’après Boyle, les avantages de cette approche sont sa simplicité et sa flexibilité. En particulier, cette approche permet de très facilement prendre en compte différents processus d’évolution du sous-jacent. Par exemple, Boyle indique qu’à la place de l’hypothèse du MBG, on pourrait supposer, à l’instar de Merton (1976), que le sous-jacent suit un processus qui est la combinaison d’un processus continu de Gauss-Wiener, et d’un processus avec des sauts, correspondant à l’arrivée d’informations importantes affectant le cours de l’actif sous-jacent. Par ailleurs, cette approche permet d’utiliser comme valeur de paramètre une distribution, et non pas une valeur unique. Ceci peut être particulièrement utile pour le paramétrage de la volatilité, qui est généralement estimée sur la base de données empiriques. Boyle indique que cette approche permet de calculer non seulement la valeur de l’option, mais aussi son écart-type. On peut ainsi établir la précision de la valorisation. D’après l’auteur, le manque de précision est le principal inconvénient de la valorisation des options par les simulations de Monte Carlo. La précision peut être améliorée en augmentant le nombre de tirages, mais celui-ci peut alors devenir très important.76 L’auteur suggère alors plusieurs techniques, permettant d’augmenter la précision de la valorisation de façon plus efficiente.

Valorisation des options de type américain

Après l’article fondateur de Boyle, l’utilisation des simulations de Monte Carlo par les marchés financiers est restée assez limitée, à la fois en raison de la lenteur du processus de calcul, et également parce que l’on estimait que cette méthode étaient inadaptée pour valoriser les options de type américain (Grant et al., 1997). Depuis, les progrès de l’informatique ont permis d’augmenter de façon très sensible la rapidité des calculs. Par ailleurs, différents chercheurs ont mis au point des algorithmes permettant de valoriser les options de type américain avec les simulations de Monte Carlo (Barraquand & Martineau, 1995; Broadie & Glasserman, 1997; Grant et al., 1997; Rebonato & Cooper, 1998; Longstaff & Schwartz, 2001; Andersen & Broadie, 2004). 76 Dans l’application numérique donnée par Boyle, il faut passer de 5 000 à 1 835 500 tirages pour faire passer l’intervalle de confiance à 95% de ± 0,958 à ± 0,05. Chapitre 4 154 Grâce à sa flexibilité, l’approche par les simulations de Monte Carlo se révèle particulièrement efficace pour valoriser les options complexes. Elle permet ainsi de prendre en compte des sous-jacents multiples, des paramètres variant avec le temps, et une multitude de types d’incertitudes et de processus stochastiques suivis par le sous-jacent (Grant et al., 1997 :1592). Nous présentons ici de façon plus détaillée le modèle de Broadie et Glasserman (1997) ainsi que le modèle de Longstaff et Schwartz (2001), que nous adapterons pour la valorisation des options réelles.

Le modèle de Broadie et Glasserman (1997)

Le modèle de Broadie et Glasserman (1997) permet de valoriser une option américaine en restreignant le problème à un nombre limité d’opportunités d’exercice anticipé de l’option. La première étape consiste à modéliser un arbre d’évolution de la valeur du sous-jacent. La Figure 4.1. représente un modèle d’arbre à trois branches.  Les connecteurs entre les nœuds représentent les liens de dépendance dans l’évolution du cours du sous-jacent. Par exemple, dans la Figure 4.1., les points S11 T et S12 T dépendent tous deux de S1 1, mais aucun ne dépend de S2 1. Contrairement à un arbre binomial, les différents nœuds de l’arbre ne sont pas classés par ordre de valeur décroissant, mais par leur ordre de tirage. Dans une deuxième étape, on calcule la valeur d’option. Le mode de calcul de l’option d’achat est exposé par les auteurs à l’aide d’un exemple numérique simple, représenté en Figure 4.2.Comme dans l’arbre binomial, on procède en commençant par la fin, c’est-à-dire à la date d’échéance de l’option, ici en T = t2. • Pour chaque valeur du sous-jacent tirée en t2, on calcule alors le pay-off de l’option, qui est le maximum entre 0 d’une part, et la différence entre la valeur du sous-jacent et le prix d’exercice d’autre part. • On se positionne ensuite à la précédente date à laquelle il est possible d’exercer l’option, ici en t1. Il s’agit de décider entre l’exercice anticipé de l’option ou le maintien en vie de l’option, sachant que la valeur attachée à chacune de ces deux alternatives est calculée comme suit : o Exercice anticipé : valeur du sous-jacent en t1 – prix d’exercice de l’option (1) ; o Maintien en vie de l’option : moyenne des pay-offs observés en t2 sur la branche considérée (2). La valeur du nœud en t1 correspond au maximum entre (1) et (2). Chapitre 4 156 • On « remonte » ainsi l’arbre jusqu’en t = 0. La valeur obtenue en t = 0 correspond à la valeur de l’option pour le tirage réalisé. Dans l’exemple représenté en Figure 4.2, cette valeur est égale à 11,9. La valeur de l’option américaine correspond alors à la moyenne des valeurs d’option obtenues au cours des n tirages. Broadie et Glasserman notent toutefois qu’une telle approche tend à surestimer la valeur de l’option. Intuitivement, cela peut s’expliquer par le fait que la décision d’exercice anticipé en t1 est ici fondée sur une connaissance parfaite de l’évolution du sous-jacent en t2, ce qui n’est pas le cas dans la réalité. Les auteurs affirment que le fait d’augmenter le nombre de simulations ne résout pas ce problème de biais. Ils proposent donc de calculer un estimateur biaisé par le bas, noté θ.