Représentation particulaire d’une densité de probabilité

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Contexte de la thèse

Le recalage altimétrique des aéronefs autonomes et le filtre particulaire
Dans le contexte des engins volants autonomes, la navigation à court terme, c’est-à-dire sur un horizon de quelques minutes à quelques dizaines de minutes, est réalisée sur la base des mesures accélérométriques et gyrométriques d’une centrale inertielle. Cepen-dant, une estimation uniquement inertielle n’est pas satisfaisante pour des missions de plus longue durée, car le phénomène de dérive induit une erreur de localisation croissante avec le temps. Il est alors nécessaire de coupler la centrale inertielle avec des capteurs additionnels fournissant une information supplémentaire sur la position géographique. Ce procédé est appelé recalage, à la manière d’une montre que l’on remet à l’heure pé-riodiquement sur une horloge de référence. Une solution classique est l’utilisation d’un récepteur GPS. Plus originale est l’utilisation d’un radar altimétrique mesurant la hauteur du sol situé à la verticale de l’engin, et d’une carte altimétrique du terrain survolé.
Pour illustrer le principe de recalage altimétrique, imaginons-nous les yeux bandés, avec pour mission d’ effectuer un parcours prédéterminé sur un terrain montagneux. Sup-posons que nos sens pour nous localiser se réduisent à notre oreille interne, organe qui permet d’estimer les accélérations et les changement de direction. On peut faire l’analo-gie entre une centrale inertielle et cet organe. Au fil du parcours, la précision de suivi du parcours se dégrade inévitablement à cause des erreurs de jugement sur les distances par-courues et les changements de direction. Pour nous aider, munissons-nous d’un altimètre et d’une carte topographique sur laquelle sont indiquées les lignes de niveaux. La simple mesure de l’altimètre à un instant donné réduit déjà la zone des localisations possibles. De plus, les variations d’altitude au cours du temps comme des passages de crêtes fournissent des éléments encore plus précis. Ainsi, il est possible d’affiner notre localisation pendant le parcours. Cette expérience n’est pas totalement théorique. En effet, des techniques re-connues d’orientation en montagne telles que la méthode dite de la tangente à la courbe sont basées sur un principe similaire et permettent de se guider par temps de brouillard.
Dans le cas du recalage altimétrique [40] [25], le principe général de localisation est celui de la corrélation (matching) entre le profil de variations de la hauteur du terrain mesurée et la carte altimétrique stockée sous forme informatique. Il s’agit de trouver une estimation de la trajectoire qui satisfasse un compromis entre d’une part l’accord avec la trajectoire calculée par la centrale inertielle que l’on sait entachée d’une certaine marge d’erreur, et d’autre part la concordance entre les mesures du radar altimétrique et les données de la carte embarquée.
L’approche bayésienne offre un cadre mathématique adéquat pour résoudre ce pro-blème d’estimation. En exprimant l’information sur les grandeurs physiques sous forme de densités de probabilité, cette approche permet de construire un ensemble d’estimateurs ayant des propriétés d’optimalité spécifiques : maximum a posteriori (MAP), estimateur à minimum de variance (MMSE) par exemple.
Cependant, une fois l’estimateur défini mathématiquement, son calcul numérique se doit d’être compatible avec les contraintes de l’application. Le temps de calcul, la possi-bilité d’approximation pour simplifier les opérations et la fréquence de disponibilité du résultat sont des critères tout aussi importants que l’optimalité définie au sens purement mathématique. Ce point est d’autant plus crucial dans le cadre du recalage altimétrique que les estimateurs linéaires classiques tels que le filtre de Kalman permettent un recalage correct uniquement pour des incertitudes de positionnement a priori faibles (quelques centaines de mètres). Au-delà de cette précision, le problème d’estimation devient forte-ment non linéaire et les estimateurs optimaux ne peuvent s’approximer par un estimateur linéaire. Dans ce cas, les méthodes classiquement utilisées pour résoudre le problème sont basées sur une discrétisation de l’espace d’état (filtrage à grille, maillage) et le coût de calcul devient de plusieurs ordres de grandeur supérieur au filtre de Kalman.
Au début des années 90, des méthodes de type Monte-Carlo ont été proposées comme alternative aux méthodes par maillage pour résoudre les problèmes d’estimation non li-néaire. Le filtrage particulaire, introduit par Del Moral, Rigal, Salut [12][13], Gordon, Salmond et Smith [23], permet un calcul récursif dans un cadre de l’estimation d’un état dynamique avec des observations non-linéaires. Les travaux de l’Université de Linköping (Suède) [39][3] puis de l’Onera (France) [36][35][10][9] ont démontré la possibilité d’utiliser un filtre particulaire pour le recalage altimétrique et ont approfondi l’adaptation de l’algorithme pour cette application.
Démarche et objectifs
La question à l’origine de cette thèse est la suivante : les gains potentiels apportés par le filtrage particulaire peuvent-ils justifier un investissement pour remplacer les méthodes actuellement mises en œuvre (méthodes par maillage et filtrage de Kalman étendu) par des algorithmes de type filtrage particulaire ?
Une partie de la réponse à cette question a déjà été formulée par les études et les publications citées ci-dessus. Ces travaux se sont principalement appliqués à optimiser et évaluer le filtre particulaire sur des scénarios pour lesquels l’incertitude en position initiale est telle que le filtre de Kalman étendu est inutilisable. Dans ce cadre, seule une comparaison avec des méthodes par maillage fait sens.
Dans cette thèse, la démarche d’évaluation et de comparaison est différente : nous nous sommes intéressés à des scénarios pour lesquels le filtre de Kalman étendu demeure utili-sable en pratique, mais dont les performances sont dégradées par le caractère non-linéaire de la mesure. Par ailleurs, l’objectif d’une application industrielle impose une structure de traitement numérique dans laquelle le filtre de recalage altimétrique doit s’insérer.
Cette orientation a conduit à l’étude comparée de quatre types de filtres. Le premier est le filtre de Kalman étendu. Le second est l’Unscented Kalman Filter (UKF), qui propose une amélioration du filtre de Kalman étendu vis-à-vis des non-linéarités du problème. Le troisième un filtre hybride entre méthode par maillage et filtre de Kalman. L’emploi de ces trois filtres au recalage altimétrique fait partie de l’état de l’art [27][34][26]. Le quatrième filtre est basé sur le principe du filtre particulaire gaussien [32]. Nous décrirons comment il peut être employé dans notre cadre.
Organisation du mémoire Le chapitre 1 est consacré à la compréhension des besoins associés à un système de navigation et à la description des caractéristiques des différents capteurs embarqués.
Le chapitre 2 est un rappel général sur l’inférence bayésienne et les méthodes de ré-solutions numériques associées, notamment le filtre de Kalman et ses dérivés, ainsi que le filtrage particulaire.
Le chapitre 3 décrit spécifiquement la problématique du recalage altimétrique et posi-tionne la thèse par rapport à l’état de l’art. Il précise également les contraintes imposées par une réalisation pratique dans le cadre d’application réelle.
Le chapitre 4 est consacré à la définition des quatre types de filtres étudiés et expose la démarche de comparaison adoptée.
Le chapitre 5 décrit la simulation numérique développée dans le cadre de cette étude et présente des exemples de résultats.

Table des matières

Introduction
La science de la navigation
Contexte de la thèse
Démarche et objectifs
Organisation du mémoire
Notations et symboles
1 Navigation et fusion d’information
1.1 Introduction
1.2 La navigation terrestre
1.2.1 Définition des repères
1.2.2 Grandeurs cinématiques
1.3 Structure de commande d’un véhicule autonome
1.3.1 Hiérarchie
1.3.2 La fonction pilotage
1.3.3 La fonction guidage
1.3.4 La fonction navigation
1.4 Exigences pour une mission autonome
1.4.1 Précision de positionnement
1.4.2 Disponibilité
1.4.3 Fiabilité
1.5 Les sources d’information
1.5.1 Navigation inertielle
1.5.2 Positionnement par satellites
1.5.3 Imagerie
1.5.4 Recalage altimétrique
1.6 Conclusion
1.6.1 Complémentarité des sources
1.6.2 La navigation hybridée
2 Cadre bayésien et méthodes numériques
2.1 Introduction
2.2 Inférence bayésienne
2.2.1 Caractérisation statistique d’une grandeur
2.2.2 Cadre bayésien pour l’estimation
2.2.3 Estimateurs
2.2.4 Cas des systèmes dynamiques
2.3 Filtrage linéaire
2.3.1 Estimateur linéaire optimal
2.3.2 Filtre de Kalman
2.3.3 Filtre de Kalman étendu (EKF)
2.3.4 Unscented Kalman filter (UKF)
2.4 Filtrage particulaire
2.4.1 Représentation particulaire d’une densité de probabilité
2.4.2 Principe du filtrage particulaire
2.4.3 Principe de la Rao-Blackwellisation
3 Filtrage optimal pour le recalage altimétrique
3.1 Introduction
3.2 Identification d’une position par mesure altimétrique
3.3 Outils mathématiques associés
3.3.1 Modèle de dérive inertielle
3.3.2 Modèle de mesure altimétrique
3.3.3 Solution optimale dans un cadre bayésien
3.3.4 Difficultés de mise en oeuvre pratique
3.3.5 Représentations de la densité de probabilité filtrée
3.3.6 Illustration du fonctionnement d’un filtre particulaire pour la navigation
3.3.7 Potentialités du filtre particulaire
3.4 Filtrage pour le recalage altimétrique : état de l’art
4 Évaluation comparatives de filtres non-linéaires gaussiens
4.1 Cadre de l’étude
4.1.1 Comparaison de filtres non-linéaires pour la phase de poursuite
4.1.2 Contraintes d’intégration à un système de navigation
4.2 Filtre de Kalman étendu
4.2.1 Mise en oeuvre
4.2.2 Choix des paramètres
4.3 Unscented Kalman Filter
4.3.1 Mise en oeuvre
4.3.2 Choix des paramètres
4.4 Filtre à grille
4.4.1 Principe
4.4.2 Mise en oeuvre
4.4.3 Choix des paramètres
4.5 Filtre particulaire gaussien
4.5.1 Principe
4.5.2 Mise en oeuvre
4.5.3 Choix des paramètres
4.6 Démarche de comparaison
4.6.1 Critères d’évaluation
4.6.2 Définition des scénarios
5 Mise en oeuvre pratique et exemples de résultats
5.1 Outil de simulation numérique
5.1.1 Introduction
5.1.2 Les éléments de la simulation
5.1.3 Détails d’implémentation
5.2 Exemple de résultats : filtre particulaire gaussien
5.2.1 Construction de la distribution d’importance
5.2.2 Évaluations comparées
Conclusion générale
Annexes
A Équations de la navigation inertielle terrestre
A.1 Introduction
A.2 Intégration des accélérations
A.3 Intégration des vitesses de rotation
A.4 Récapitulatif
B Modèle de dérive d’une centrale inertielle strap-down
B.1 Linéarisation de la dynamique de l’erreur
B.2 Dynamique de l’erreur de position
B.3 Dynamique de l’erreur de vitesse
B.4 Dynamique de l’erreur d’attitude
B.5 Expression sous forme matricielle
Bibliographie