SYSTÈMES QUASI-BI-HAMILTONIENS

 Opérateur de Nijenhuis

Soit Λ un champ de bi-vecteur sur une variété M. On appelle morphisme de fibré associé à Λ l’ application : J : T ∗M −→ TM α 7−→ Λ(α, .) où TM et T ∗M sont respectivement le fibré tangent et cotangent de M(voir annexe). Définition 2.7 Soient (M, ω, H) un système hamiltonien et (Λ0,Λ1) une paire de Poisson. Un champ de vecteur X est appelé champ de vecteur bi-hamiltonien s’il existe une fonction F ∈ C ∞(M) tel que : X = J0dH = J1dF avec J0 et J1 sont des morphismes de fibrés déterminées par Λ0 et Λ1. Définition 2.8 L’opérateur de récursion associé à une paire (Λ0,Λ1) non-dégénérée est le (1 − 1) tenseur N défini par N = J1J −1 0 . Définition 2.9 Soit J un endomorphisme de l’espace vectoriel χ(M) des champs de vecteurs sur la variété M. La torsion de Nijenhuis de J notée TJ est l’application χ(M) × χ(M) dans χ(M) définie par : ∀X, Y ∈ χ(M) TJ (X, Y ) = LJX(JY ) − JLJX(Y ) − JLX(JY ) + J 2LX(Y ) où L désigne la dérivée de Lie. J est appelé un opérateur de Nijenhuis s’il est à torsion de Nijenhuis nulle. Proposition 2.1 L’opérateur de récursion N défini ci-dessus est un opérateur de Nijenhuis. Preuve. En effet, pour tous X, Y ∈ χ(M) TN (X, Y ) = LNX(NY ) − NLNX(Y ) − NLX(NY ) + N 2LX(Y ) (2.1) et pour tous α, β ∈ Ω 1 (M) 2[Λ0,Λ1](α, β) = LJ0β(J1)α + J1LJ0α(β) + J1d < α, J0β > (2.2) + LJ1β(J0)α + J0LJ1α(β) + J0d < α, J1β > . Étant donnés X, Y ∈ χ(M), soient α, β ∈ Ω 1 (M) tel que X = J0α, Y = J0β. (α et β existent puisque Λ0 est symplectique) En utilisant 2.1 et 2.2, nous avons : TN (X, Y ) = −N 2 [Λ0,Λ0](α, β) + 2N[Λ0,Λ1](α, β) − [Λ1,Λ1](α, β) Et d’après la compatibilité de Λ0 et Λ1, nous avons TN (X, Y ) = 0.

Coordonnées de Darboux Nijenhuis

Définition 2.10 [8] Un ensemble de coordonnée (xi , yi) sur une variété est appelé un ensemble de coordonnée de Darboux-Nijenhuis si elle sont canoniques par rapport à la forme symplectique ω, ω = Xn i=1 dyi∧dxi , et de mettre l’opérateur de récursion N sous forme diagonale, N = Xn i=1 λi  ∂ ∂xi ⊗ dxi + ∂ ∂yi ⊗ dyi  . 2.5 Intégrabilité d’un système bi-hamiltonien Du point de vue symplectique nous avons les définitions suivantes : Définition 2.11 On dit que deux formes symplectiques ω0 et ω1 sur une variété M sont compatibles si le (1 − 1)tenseur J défini par la formule ∀X ∈ χ (M), ∀Y ∈ χ(M), ω1(X, Y ) = ω0(JX, Y ) est à torsion de Nijenhuis nulle. Définition 2.12 Un champ de vecteur X sur M est appelé bi-hamiltonien s’il existe deux formes symplectiques compatibles ω0 et ω1 tel que X est le champ de vecteur hamiltonien relativement pour les deux formes ω0 et ω1. Nous notons par (M, ω0, H, ω1) le système bi-hamiltonien où H est la fonction hamiltonienne. Maintenant, nous allons travailler sur le tenseur J défini ci-dessus. Pour obtenir une famille d’intégrale première d’un système hamiltonien, nous pouvons utiliser la relation de récursion de Lenard suivante : Définition 2.13 [3] Soit (M, ω0, H, ω1) un système bi-hamiltonien. Nous disons qu’une famille de fonction (Hk)k∈N∗ satisfait la relation de recursion de Lenard si J1dHk = J0dHk+1 ∀k ∈ N ∗ . Proposition 2.2 [3] Soient (M, ω0, H, ω1) un système bi-hamiltonien, J = J1J −1 0 l’opérateur de récursion. Alors la famille (Hk)k∈N∗ avec Hk = 1 k trJ k satisfait la relation de récursion de Lenard.  Preuve. Pour tout X ∈ χ(M) et pour tout entier k > 0, nous avons : LXHk+1 = LX  1 k + 1 trJ k+1 = 1 k + 1 tr LXJ k+1 = tr J k .LXJ  = tr J k−1 .J.LXJ  = tr LX( t J). t J.t J k−1  car trA = trtA ∀A ∈ Mn(R) = tr t J k−1 .LX( t J). t J  car trAB = trBA ∀A, B ∈ Mn(R). Comme J est opérateur de récursion, d’après la proposition 2.1, nous avons : TJ (X, Y ) = LJX(JY ) − JLJX(Y ) − JLX(JY ) + J 2LX(Y ) = 0 ∀X, Y ∈ χ(M). Cette égalité peut s’écrire encore : LJXJ − JLXJ = 0 ∀X ∈ χ(M). Donc LJXJ = JLXJ. En faisant la transposée de chaque terme, nous avons : LJX( t J) = LX( t J). t J Par suite, LXHk+1 = tr( t J k−1 .LJX( t J)) = 1 k tr LJX( t J k )  = LJX( 1 k trJ k ) CHAPITRE 2. SYSTÈMES BI-HAMILTONIENS 17 Donc ∀X ∈ χ(M), LXHk+1 = LJXHk = LX  tJHk  car tJ = J −1 . Nous avons donc : Hk+1 = t JHk dHk+1 = d( t JHk) = t JdHk = (J1J0) −1 dHk. Comme J1 et J0 sont des matrices symplectiques, nous avons finalement : J0dHk+1 = J1dHk.  Théorème 2.1 [13] (Magri et Morosi ,1984) Pour tout champ de vecteurs X ∈ χ(M), les valeurs propres de l’opérateur de récursion J forment une famille d’intégrales premières en involution. Avant de prouver ce théorème, nous allons énoncer la proposition et le corollaire suivant pour effectuer la démonstration. Proposition 2.3 [9] Soient (M, ω0, H, ω1) un système bi-hamiltonien, Λ0 et Λ1 deux bi-vecteurs de Poisson associés respectivement aux morphismes de fibrés J0 et J1. Si f et g sont des fonctions sur M satisfaisant Λ0df = Λ1dg ,alors {f, g} = 0. Preuve : {f, g} = < df,Λ0dg > = − < dg,Λ0df > = − < dg,Λ1dg > d’après l’hypothèse donc {f, g} = 0.  Corollaire 2.1 [9] Soit (fi)i∈Z une famille de fonction satisfaisant Λ0dfi = Λ1dfi−1. Alors {fi , fk} = 0 pour tout i, k ∈ Z. CHAPITRE 2. SYSTÈMES BI-HAMILTONIENS 18 Preuve. {fi , fk} = < dfi ,Λ0dfk > = < dfi ,Λ1dfk−1 > = − < dfk−1,Λ1dfi > = − < dfk−1,Λ0dfi+1 > = < dfi+1,Λ0dfk−1 > = {fi+1, fk−1} Supposons k > i, et en faisant l’itération (k−i) fois, nous avons {fi , fk} = {fk, fi}. Donc {fi , fk} = 0 par l’antisymétrie du crochet de Poisson.  Preuve du théorème. D’après la proposition 2.2, les fonctions Hk = 1 k trJ k avec k > 0, satisfait la relation de récursion de Lenard. En d’autre terme Λ1dHk = Λ0dHk+1. D’après le corollaire 2.1 , nous avons {Hi , Hk} = 0 pour tout i, k ∈ N ∗ . Donc les fonctions Hk sont des intégrales premières en involution de XH. Comme les valeurs propres de l’opérateur de récursion J sont des fonctions des Hk, alors ces valeurs propres sont aussi des intégrales premières.  Proposition 2.4 [9] Nous définissons Hi = 1 i trJi , i = 1, . . . , n. Si les fonctions Hi sont fonctionnellements indépendantes, alors les valeurs propres λi, i = 1, . . . , n de J sont distinctes et fonctionnellements indépendantes.