UN MODELE DE POPULATION A BASE DE POISSON-LIGNES

Le processus de Poisson-lignes

Construction Voici comment sont construits les processus de lignes sur R 2 (pour plus de d2tails, voir [Sto95] p. 244-245) : pour une ligne D donn2e, il existe une et une seule perpendiculaire P qui passe par l’origine. On note θ l’angle que fait un vecteur directeur de P avec le vecteur directeur i de l’axe horizontal. La condition suppl2mentaire θ ∈ [0, π[ d2finit θ de mani`ere unique et permet d’orienter P. On note alors r la distance de l’origine O `a D, mesur2e en valeur alg2brique grˆace `a l’orientation de P. Fig. 2.2: d2finition de θ et r Conclusion : on met en bijection les droites D avec les couples (θ, r) de la bande [0, π[×R. Dans la suite, on notera d l’application : (θ, r) 7→ D. Attention `a un d2tail cependant : on serait tent2 d’identifier le bord droit de [0, π[×R `a son bord gauche, mais il n’en est rien : il faut effectuer un retournement auparavant, comme pour le ruban de M¨obius. On s’en convainc en regardant ce qui se passe par exemple pour une droite qui tourne dans le sens trigonom2trique autour du point (−1, 0) : au moment o`u elle franchit la verticale, θ passe brusquement de π `a 0, mais r passe de 1 `a -1. Cette remarque complique un peu les v2rifications d’isotropie, mais elle ne les modifie pas fondamentalement. Dans toute la suite, si A est un bor2lien de R 2 , on notera un peu abusivement d −1 (A) la r2gion de [0, π[×R qui correspond aux droites qui intersectent 2.2. Le processus de Poisson-lignes 33 A. Par exemple, on a la Proposition 2.1. Si A est le disque ferm2 de centre (a, b) et de rayon ρ, alors : d −1 (A) = {(θ, r)/a cos(θ) + b sin(θ) − ρ ≤ r ≤ a cos(θ) + b sin(θ) + ρ}. Fig. 2.3: calcul de rmin(θ) et rmax(θ) Maintenant, on peut introduire la D2finition 2.1. Un processus de Poisson-lignes d’intensit2 λ sur R 2 est simplement l’image par d d’un processus ponctuel de Poisson ξ d’intensit2 λ sur [0, π[×R. 2.2.2 Mesure al2atoire associ2e D2finition 2.2. Si µ est un param`etre strictement positif, on peut associer `a ξ une mesure al2atoire Λ sur R 2 comme suit : ∀A ⊂ R 2 , Λ(A) = X (θ,r)∈ξ µl(A ∩ d(θ, r)), 34 Chapitre 2. Un mod`ele de population `a base de Poisson-lignes −30 −20 −10 0 10 20 30 −30 −20 −10 0 10 20 30 Fig. 2.4: Processus de Poisson-lignes o`u l est la mesure de Lebesgue en dimension 1 (aussi appel2e ”longueur”). Cette formule a bien un sens, car si A est un bor2lien de R 2 et D une droite, alors A ∩ D est mesurable pour la tribu bor2lienne d2finie naturellement sur D (pour s’en convaincre, on peut effectuer une rotation qui ram`ene D verticalement, et utiliser un r2sultat bien connu qui dit que toute section verticale d’un bor2lien de R 2 est un bor2lien de R). Par ailleurs Λ est bien localement finie. En effet, si A est born2, il est inclus dans un disque B, ce qui permet d’2crire d −1 (A) ⊂ d −1 (B). Or d −1 (B) ne contient qu’un nombre fini de points (θ, r) ∈ ξ, puisqu’il est born2 d’apr`es la proposition 2.1. Donc a fortiori d −1 (A) ne contient qu’un nombre fini de points (θ, r) ∈ ξ, et il n’existe qu’un nombre fini de droites d(θ, r) qui intersectent A. De plus, chacune des intersections A ∩ d(θ, r) poss`ede une longueur finie (car major2e par le diam`etre de B). Ainsi, Λ(A) < ∞.  On peut prouver que le processus Λ est bien mesurable (voir 2.10.1). Enfin, on remarque que la masse de Λ est enti`erement concentr2e sur les lignes d(θ, r).