Une déformation à un paramètre del’algèbre de Farahat-Higman

L’algèbre de Fa´a di Bruno et sa déformation 4.1.1 L’algèbre de Fa´a di Bruno Soit G1 le groupe G1 = {α|α(t) = t + a1t 2 + a2t 3 + . . .} = t + t 2C[[t]] (4–262) des difféomorphismes formels de la droite tangents à l’identité, munis de la composition. Pour tout n, on note alors kn la forme linéaire kn : α(t) = t + a1t 2 + a2t 3 + . . . 7→ an, (4–263) et on note H l’algèbre des fonctions de G1 dans C polynomiales en les kn. Soit maintenant ∆1 le coproduit sur H tel que pour tous α ∈ H et β ∈ H, ∆kn(α, β) soit le coefficient en t n+1 dans (α ◦ β)(t) = α(β(t)) (4–264) (ici, les éléments f ⊗ g ∈ H ⊗ H sont identifiés aux fonctions à deux variables (α, β) 7→ f(α)g(β)). Ce coproduit munit H d’une structure d’algèbre de Hopf, connue sous le nom d’algèbre de Fa´a di Bruno. Cette algèbre de Hopf n’est pas cocommutative. L’antipode S1 correspondant est défini par (S1(f))(α) = f(α <−1>), (4–265) 57 Une déformation à un paramètre del’algèbre de Farahat-Higman 4.1.2. Une famille à un paramètre d’algèbres de Hopf 58 o`u α <−1> désigne l’inverse de α pour la composition. En temps qu’algèbre associative, H est isomorphe à l’algèbre Λ des fonctions symétriques, et l’isomorphisme correspondant envoie kn sur la fonction complète simple hn. Le coproduit ∆1 peut alors ˆetre défini par ∆1hn = Xn k=0 hk(X) ⊗ hn−k((k + 1)X). (4–266) On peut réécrire cette égalité sous la forme ∆1hn = Xn k=0 X µ⊢n−k mµ(k + 1)hk ⊗ hµ, (4–267) et l’antipode S1 est l’involution qui envoie hµ sur h ⋆ µ .

Une famille à un paramètre d’algèbres de Hopf

On désigne par TCK l’ensemble des arbres enracinés, c’est-à-dire l’ensemble des graphes finis connexes sans cycle munis d’un sommet spécial appelé la racine. On désigne par HCK l’algèbre de Connes-Kreimer des arbres enracinés [18]. Il s’agit de l’algèbre associative commutative libre librement engendrée par TCK. Les monˆomes en les arbres enracinés forment une base linéaire de cette algèbre. Une coupe admissible d’un arbre enraciné T est une coupe non vide telle que chaque chemin de T rencontre au moins une arrˆete coupée. L’ensemble des coupes admissibles de T est notée Adm(T). Pour chaque c ∈ Adm(T), un des arbres obtenu après application de c contient la racine de T. On appellera cet arbre Rc (T), et le produit des autres arbres ainsi obtenus sera appelé P c (T). Ces définitions permettent de munir HCK de sa structure usuelle d’algèbre de Hopf, en définissant le coproduit ∆CK associé comme étant le morphisme d’algèbres tel que pour tout T ∈ TCK, ∆CK(T) = T ⊗ 1 + 1 ⊗ T + X c∈Adm(T) R c (T) ⊗ P c (T). (4–268) Cette algèbre de Hopf est graduée par le nombre de sommets des arbres. Dans [9], Foissy s’intéresse à l’équation de Dyson-Schwinger XP = B +(P(XP )) (4–269) d’inconnue XP dans l’algèbre de Connes-Kreimer. Ici, B+ est l’opérateur de greffage sur une racine commune, et P est une série formelle de terme constant 1. En déterminant dans quels cas la sous-algèbre de HCK engendrée par les coefficients de Xp est une algèbre de Hopf, Foissy obtient une famille à deux paramètres Hα,γ de sous-algèbres de Hopf de HCK. Pour une des valeurs du premier paramètre, il montre que l’algèbre obtenue est isomorphe à l’algèbre de Hopf des polynˆomes en une variable. Il montre également que pour les valeurs de α autres que cette valeur particulière, les Hα,γ avec γ fixé sont toutes trivialement isomorphes entre elles, de telle sorte que l’on puisse fixer le premier paramètre, et ainsi se restreindre à 59 4. Une déformation de R l’étude d’une famille à un paramètre d’algèbres de Hopf Hγ.

Dual gradué de l’algèbre de Fa´a di Bruno déformée

On s’intéresse à présent à l’algèbre de Hopf H′ γ définie comme étant le dual gradué de Hγ, et on note ⋆γ le produit dans cette algèbre. Pour tout f ∈ Hγ et toute fonction symétrique g, on note hf, gi l’action de f sur g. Pour tous f ∈ H′ γ , g ∈ H′ γ et h ∈ Λ, on a par définition d’une algèbre de Hopf duale hf ⋆γ g, hi = hf ⊗ g, ∆γ(h)i. (4–280) On désigne par (dλ), (qλ) et (bλ) les bases de H′ γ respectivement duales de (hλ),  pλ zλ  et (h ⋆ λ ), au sens o`u l’on a par exemple hdλ, hµi = δλµ. (4–281) Les bn sont primitifs. D’autre part, ils engendrent H′ γ , et on a qn = dn = −bn (4–282) quelque soit la valeur du γ considéré. L’algèbre H0 est auto-duale, et on a donc dans le cas o`u γ = 0 dλ = mλ, qλ = pλ et bλ = gλ. (4–283) Lorsque γ 6= 0, H′ γ n’est ni auto-duale ni commutative, puisque le coproduit ∆γ de Hγ n’est pas cocommutatif.