Différentielles quadratiques et champs
de vecteurs

 Généralités

Les notations et conventions suivantes seront utilisées dans toute la suite : — S est une 1-variété complexe, qui n’est pas nécessairement connexe. Le terme surface de Riemann imdiquera toujours que l’on suppose que S est connexe. — P1 est la sphère de Riemann. — Ω est un ouvert hyperbolique de P1 (éventuellement non connexe : dans ce cas, le fait que Ω soit hyperbolique signifie que toutes ses composantes connexes sont hyperboliques). — f : P1 → P1 est une fraction rationnelle de degré d ≥ 2. — Si S est hyperbolique, ρS est la métrique hyperbolique sur S. Si S n’est pas connexe, ρS désigne la métrique hyperbolique de chaque composante connexe de S. Plus précisément, si v ∈ TsS est un vecteur tangent attaché à un point s ∈ S, alors ρS(s; v) est la longueur de v mesurée dans la métrique hyperbolique de la composante connexe de S contenant s. Si ξ est un champ de vecteur sur S, ρS(ξ) désigne la fonction s 7→ ρS(s; ξ(s)). Dans toute cette section, la régularité des objets que l’on considère (différentielles quadratiques, champs de vecteurs, etc.) n’est sauf mention explicite du contraire que mesurable. Dans les applications, la régularité sera systématiquement précisée (holomorphe, méromorphe, C 1 , continue, localement intégrable, L∞…). Cependant, comme on définira un ∂ de certains objets (voir définition 1.1.3), les objets dont on prendra le ∂ seront supposés avoir une plus grande régularité. Cette hypothèse de régularité sera alors systématiquement explicitée. Définition 1.1.1. Une différentielle quadratique sur une surface de Riemann S est une section du fibré T ∗S ⊗T ∗S (produit tensoriel sur C). Autrement dit, c’est un champ de formes quadratiques complexes sur les plans tangents.Définition 1.1.2. Si µ est une section de Hom(TS, TS), i.e. une section du fibré des endomorphismes anti-C-linéaires des plans tangents, et z ∈ S, alors |µ|(z) désigne la norme de l’endomorphisme µ(z) de TzS. Ainsi, |µ| est une fonction bien définie sur S. Si µ est une telle section vérifiant la propriété |µ| ∈ L∞(S), on dit que µ est une différentielle de Beltrami. Si de plus kµkL∞(S) < 1, on dit que µ est une forme de Beltrami. Plus généralement, il sera utile de définir : Définition 1.1.3. Soit k ∈ Z. Notons Γ(T ∗S ⊗k ) l’espace des sections de (T ∗S) ⊗k si k ≥ 0, et l’espace des sections de (TS) ⊗|k| si k < 0 (produits tensoriels sur C). En coordonnées locales, on écrit φ = φ(z)dzk si k ≥ 0 et φ = φ(z) d dz|k| si k < 0. Parfois, par abus de notations, on notera également φ = φ(z)dzk même si k < 0. Dans de nouvelles coordonnées w = h −1 (z), le changement de coordonnées s’écrit : φ = φ ◦ h(w)h 0 (w) kdwk si k ≥ 0 et φ = φ ◦ h(w)h 0 (w) k d dwk si k < 0. En général, une connexion est nécessaire pour définir la différentielle d’une section d’un fibré. Rappelons cependant que si φ est une section d’un fibré vectoriel holomorphe E sur une surface de Riemann S avec une régularité suffisante, alors il existe une définition intrinsèque de ∂φ ne nécessitant pas de connexion. Dans ce cas, ∂φ est naturellement une section du fibré Λ 0,1 (TS)⊗E. Définition 1.1.4. Soit φ une section d’un fibré vectoriel holomorphe E sur une surface de Riemann S. On peut écrire localement φ = hψ, où h est une fonction et ψ est une section locale holomorphe de E. On définit alors, si h est L 1 loc et ∂h (au sens des distributions) est L 1 loc : ∂φ := ∂h ⊗ ψ. Ici, ∂h désigne la dérivée au sens des distributions de h. On dira que la section φ est faiblement dérivable lorsque le h de la définition ci-dessus est dans L 1 loc et que ∂h au sens des distributions est L 1 loc. On vérifie sans peine que cette définition est indépendante du choix de section locale. Remarque 1.1.5. Attention : si E = Ω1,0 (S) est le fibré des formes différentielles de type (1, 0), cette définition ne coïncide pas tout à fait avec la définition habituelle du ∂. En effet, si ω ∈ Ω 1,0 (S), ∂ω dans le sens classique est une (1, 1)-forme différentielle alternée, tandis que ∂ω dans le sens de la définition précédente est une forme sesquilinéaire. Cependant, on peut passer de l’une à l’autre par un isomorphisme canonique (en antisymétrisant). Soit φ ∈ Γ(E) une section faiblement dérivable. Voici des cas particuliers qui nous intéresseront : — Si E = TS et φ ∈ Γ(E) (i.e. φ est un champ de vecteurs), alors ∂φ est une différentielle de Beltrami. — Si E = T ∗S, alors ∂φ est une forme sesquilinéaire. Après antisymétrisation elle devient une forme volume que l’on peut naturellement intégrer sur S. En coordonnées locales, si φ = φ(z)dzk , alors ∂φ = ∂φ ∂z (z)dz ⊗ dzk . Définition 1.1.6. Soit φ ∈ Γ(T ∗S ⊗m) et ψ ∈ Γ(T ∗S ⊗n ), où m, n ∈ Z. — φ·ψ définit naturellement une section de (T ∗S) ⊗m+n , donnée par soit par une contraction soit par un produit tensoriel, selon les signes de m et n. — Supposons que ψ soit faiblement dérivable. Alors φ · ∂ψ définit naturellement une section de Λ 0,1 (TS) ⊗ (T ∗S) ⊗m+n de la façon suivante : écrivons localement ∂ψ = ψ1 ⊗ ψ2 où ψ1 ∈ Ω 0,1 (S) et ψ2 ∈ Γ((T ∗S) ⊗n ), et posons φ · ∂ψ := ψ1 ⊗ (φ · ψ2). Lorsque m + n = 1, φ · ∂ψ est une forme sesquilinéaire sur S. Quitte à antisymétriser, elle définit de manière canonique une forme volume sur S. On peut donc intégrer cet objet sur S. Notons que l’antisymétrisation définit un isomorphisme canonique entre formes sesquilinéaires et formes volumes en dimension complexe 1 ; on identifiera donc φ · ∂ψ à une forme volume

Différentielles quadratiques et dual des champs de vecteurs

Nous introduisons ici l’espace dual des champs de vecteurs continus, que l’on va relier à un certain espace de différentielles quadratiques intégrables. Plus précisément, l’espace de champs de vecteurs tests considéré sera celui des champs de vecteurs continus sur la sphère de Riemann. Nous allons voir que pour certaines différentielles quadratiques q, ∂q définit de manière naturelle une forme linéaire sur cet espace de champs de vecteurs tests. Il sera parfois utile de manipuler ces formes linéaires plutôt que des différentielles quadratiques. Les deux résultats importants de cette section sont le théorème 1.4.8, qui servira à inverser l’opérateur ∂ pour associer une différentielle quadratique à une forme linéaire, et la proposition 1.4.11, qui permet de voir comment se poussent en avant ces formes linéaires. Commençons par développer un peu de formalisme. Rappelons qu’une forme linéaire sur l’espace des fonctions continues sur un compact s’identifie naturellement aux mesures de Radon. Ici, on s’intéresse aux formes linéaires sur l’espace des champs de vecteurs continus. La description intrinsèque de ces objets fait donc intervenir à la fois des mesures de Radon mais aussi des formes différentielles.

Définition 1.4.1. On note Γ(TP1 ) ∗ l’espace des formes linéaires continues sur l’espace des champs de vecteurs continus sur P1 , muni de la topologie de la norme uniforme. Le support de u ∈ Γ(TP1 ) ∗ est le complémentaire de l’union des ouverts ω ⊂ P1 tels que hu, ξi = 0 pour tout champ de vecteurs ξ à support dans ω. Si h ∈ C 0 (P1 , C) et u ∈ Γ(TP1 ) ∗ , alors hu ∈ Γ(TP1 ) ∗ est définie par hhu, ξi = hu, hξi.