Du développement topologique des modèles de matrices à la théorie des cordes topologiques

Combinatoire des cartes, surfaces discrétisées

Nous avons défini la fonction génératrice de graphes épais dérivés des diagrammes de Feynman. On peut aisément voir que ces derniers sont en bijection avec un ensemble de cartes (ou surfaces discrétisées dans le langage des physiciens) coloriées portant une structure de spins semblable `a celle d’un modèle d’Ising .Génération de surfaces discrétisées bicolores fermées. En effet, on peut utiliser une description duale en rempla¸cant simplement tout vertex k-valent par le k-gone dont les cˆotés sont les perpendiculaires aux pattes du vertex. Ainsi, les graphes sont remplacés par des surfaces composées de polygones suivant : Definition 2.1 Soit S l’ensemble des surfaces fermées formées de polygones orientés `a k ≥ 1 cˆotés, portant une ”couleur” i = 1, . . . , d1d2 et un ”spin” (i.e. un signe + ou -) et collés selon les prescriptions : – Deux vertex peuvent être collés le long de leurs arêtes si et seulement si ils ont la même couleur ; – Deux vertex peuvent être collés par leurs centres si et seulement si ils sont de même spin et de couleur différente. 

Surfaces ouvertes et conditions de bord

Il est également intéressant de pouvoir générer des surfaces ouvertes (par exemple pour des applications `a la théorie des cordes ou bien `a l’étude des théories conformes ou simplement avec un objectif combinatoire d’énumération de cartes). Ces fonctions peuvent être obtenues simplement par variation des poids associés aux différents éléments des graphes. En effet, la fonction génératrice des surfaces dont on a enlevé (ou marqué) un k-gone de spin + (resp. de spin -) et de couleur i est donnée par k ∂ ∂tk,i ln Zf orm (resp. k ∂ ∂t˜k,i ln Zf orm). Or, compter toutes les surfaces auxquelles on a enlevé un k-gone revient `a compter toutes les surfaces ouvertes avec un bord de longueur k et une condition de bord imposée par le spin et la couleur du k-gone `a retirer. Cependant, ces fonctions génératrices ne sont pas pratiques `a manipuler dans les faits et par soucis de simplicité ainsi que pour des raisons historiques issues de la 2. COMBINATOIRE DES CARTES, SURFACES DISCRETIS ´ EES. ´ 45 représentation sous forme d’intégrale matricielle de Zf orm, il est préférable de travailler avec les fonctions de corrélations de la forme : k1 . . . kml1 . . . ln ∂ ∂tk1 . . . ∂ ∂tkm ∂ ∂t˜l1 . . . ∂ ∂t˜ln ln Zf orm (2-2) o`u les ti et t˜j sont les coefficients des potentiels V1 et V2 respectivement (voir Eq. (1-1)). En effet, le poids d’un k-gone de spin + (resp. de spin -) et de couleur i est encodé dans les coefficient t du potentiel V1 et t˜du potentiel V2 par l’intermédiaire de tk,i (resp. t˜k,i). Il est également utile de définir les résolvantes du type X k k x k+1 ∂tk ln Zf orm , X k k y k+1 ∂t˜k ln Zf orm (2-3) pour considérer toutes les longueurs de bords possibles. Les paramètres x et y sont alors des fugacités associées aux bords. On a ici introduit les opérateurs d’insertion de boucle9 consistant en une dérivée formelle par rapport `a tous les coefficients des potentiels V1 et V2 respectivement : ∂ ∂V1(x) := X k k x k+1 ∂tk , ∂ ∂V2(y) := X k k y k+1 ∂t˜k . (2-4) Les fonctions de corrélation ainsi définies : Wk,l(xK, yL) := − ∂ ∂V1(x1) . . . ∂ ∂V1(xk) ∂ ∂V2(y1) . . . ∂ ∂V2(yl) F (2-5) génèrent donc des surfaces ouvertes `a k + l bords dont chacun a une condition de bord homogène : k d’entre eux viennent de l’extraction d’un polygone de spin + et les l autres de l’extraction d’un polygone de spin -. Remarque 2.1 On utilisera ici encore abondament la notation d’intégrale matricielle pour désigner les fonctions de corrélation. En effet, l’action de la dérivation par rapport `a l’un des coefficients des potentiels est facile `a représenter : k ∂ ∂tk ln Zf orm = k Zf orm ∂ ∂tk Z dM1dM2e − 1 ~ Tr (V1(M1)+V2(M2)−M1M2) = − 1 ~Zf orm Z dM1dM2 Tr Mk 1 e − 1 ~ Tr (V1(M1)+V2(M2)−M1M2) = 1 ~ D Tr Mk 1 E (2 − 6) L’action de l’opérateur d’insertion de boucles peut alors être représentée par : ∂ ∂V1(x) F = −~  Tr 1 x − M1  , (2-7) 9Ce nom provient du fait qu’un tel opérateur agit sur les surfaces générées en ajoutant un bord, c’est-`a-dire en inserrant une boucle dans le graphe dual. Nous reviendrons plus longuement sur la description de son action dans la partie 9 de ce chapitre. 46 CHAPITRE 2. MODELE ` A DEUX MATRICES HERMITIENNES. ` et plus généralement les fonctions de corrélations Wk,l sont données par : Wk,l(xK, yL) = ~ 2−k−l *Y k i=1 Tr 1 xi − M1 Y l j=1 Tr 1 yj − M2 + c , (2-8) o`u l’indice c signifie que l’on ne tient compte que de la partie connexe. Ces fonctions de corrélation sont dites ”simples” car elles ne font apparaˆıtre qu’un seul type de matrice (M1 ou M2) `a l’intérieur de chaque trace. Il est naturel de vouloir étendre cette définition `a la valeur moyenne d’une classe plus grande de fonctions de M1 et M2 invariantes par action du groupe U(N) en mélangeant les deux types de matrices : Hk1,…,kl ;m;n(S1, S2, . . . , Sl ; x1, . . . , xm; y1, . . . , yn) := ~ 2−l−m−n *Y l i=1 Tr  1 xi,1−M1 1 yi,1−M2 1 xi,2−M1 1 yi,2−M2 . . . 1 xi,ki −M1 1 yi,ki −M2  × × Ym j=1 Tr 1 xj − M1 Yn s=1 Tr 1 ys − M2 + c (2-9) o`u Si représente la suite de longueur 2ki Si := [xi,1, yi,1, xi,2, yi,2, xi,3, yi,3, . . . , xi,k, yi,k] (2-10) dans laquelle les variables de type x et y alternent. A cause de l’invariance cyclique de la trace, ce n’est pas Si `a proprement parler qui intervient dans la fonction de corrélation mais sa classe d’équivalence sous les permutations cycliques et il sera utile de représenter cette dernière graphiquement par Si = i,1 i,3 i,3 i,1 i,k i,2 i,k i,2 y x y x y x y x . (2-11) Ces fonctions de corrélation plus compliquées sont dites ”mixtes” puisqu’elles mélangent des matrices M1 et M2 `a l’intérieur d’une même trace. Que signifient ces nouvelles fonctions en termes combinatoires ? Considérons le cas le plus simple : Tr Mk 1 Ml 2. Si l’on développe en diagrammes de Feynman l’intégrale correspondante, on génère des surfaces qui comportent toutes un polygone `a k +l cˆotés, k d’entre eux portant un spin + suivis de l spin − : + + + − − 1 2 k k+1 k+l (2-12)  Les surfaces générées par cette fonction de corrélation sont donc des surfaces `a un bord de longueur k + l mais avec une condition de bord changeant deux fois. Cela signifie que, pour calculer les poids des surfaces générées, on fait comme si elles étaient entourées d’une couronne de longueur k + l composée de k polygones de spin + successifs suivis de l polygones de spin −10 . D’un point de vue purement combinatoire, de telles fonctions de corrélation ne peuvent être simplement définies `a l’aide des poids W considérés jusqu’`a présent : on doit considérer une légère généralisation des cartes. On doit introduire des polygones `a PK α=1 kα + PL β=1 lβ cˆotés de spins différents donnés par la séquence : k1 z }| { +, +, . . . , +, l1 z }| { −, −, . . . , −, k2 z }| { +, . . . , +, l2 z }| { −, . . . , − . . . , kK z }| { +, +, . . . , +, lL z }| { −, −, . . . , −, (2-13) et de couleur i avec un poids t(k1,l1,k2,…,kK,lL),i. Les polygones considérés jusqu`a présent correspondent `a (K, L) = (1, 0) pour ceux de spin + et (K, L) = (0, 1) pour ceux de spin -. Dés lors, la généralisation de la fonction de partition est évidente : on considère l’ensemble des graphes construits avec ces nouveaux polygones11 muni des poids Wgeneral induits par l’introduction des t(k1,l1,k2,…,kK,lL),i. La fonction de partition correspondante est alors donnée par : Zgeneral := Y i e − N2 T i(V1(ξi)+V2(ηi)−ξiηi)Y j>i [(ξi − ξj )(ηi − ηj )]N2 ij X G∈Ggeneral Wgeneral(G). (2-14) Les fonctions de corrélation mixtes sont alors obtenues en dérivant la fonction de partition par rapport aux nouveaux poids avant de prendre ces derniers égaux `a 0. Par exemple : ∂ ln Zgeneral ∂t(k,l),i     t(k1,l1,k2,…,kK,lL),i=0 → Tr Mk 1 Ml 2. (2-15) Remarque 2.2 Les résolvantes introduites ici comme fonctions de corrélations, qu’elles soient mixtes ou non, sont des séries formelles en leurs paramètres x et y, définies quand ces derniers tendent vers l’infini. Ainsi, en tant que fonctions de ces paramètres complexes, elles sont en général multivaluées. Dans tous les cas, la bonne valeur est séléctionnée par la règle suivante :  Tr 1 x − M1 B  ∼x→∞ 1 x h Tr Bi. (2-16) Ceci permet également de voir les fonctions de corrélation simples comme des limites des fonctions de corrélations mixtes par :  Tr 1 x − M1 1 y − M2  ∼y→∞ 1 y  Tr 1 x − M1  . (2-17) 10On ne doit pas tenir compte du poids de la couronne elle même mais seulement des contributions venant de l’interaction entre la courrone et la surface. 11Ces polygones portant plusieurs spins ne peuvent être liés par leurs centres `a aucun autre élément de la carte. Ils ne peuvent être liés que par leurs cˆotés `a des polygones de même couleur.  Développement topologique. Chaque terme Bk de la série formelle en T, F = X∞ k=0 BkT k , est un polynˆome en 1 N2 car l’exposant k majore le nombre de vertex formant les graphes G contribuant `a Bk (voir la discussion dans la preuve du théorème 1.3). Ainsi, on peut noter : Bk = X h Bk,hN −2h , (3-1) et définir les termes : F (h) := X∞ k=0 Bk,hT k (3-2) pour tout h positif ou nul. Or, en s’attardant sur la définition combinatoire de la fonction de partition Eq. (1- 61), on peut observer que ces termes correspondent au coefficient de N −2h dans l’énergie libre. Par ailleurs, l’exposant de N dans le poids d’un graphe donné est sa caractéristique d’Euler-Poincaré. Ainsi, en sélectionnant un exposant particulier de N par F (h) , on impose que les surfaces aient un genre h fixé : F (h) est la fonction génératrice des surfaces connexes de S de genre h en utilisant le même poids que pour Zf orm. On peut donc écrire le développement topologique : F = X∞ h=0 F (h)N −2h (3-3) comme une série formelle en 1 N2 . De manière analogue, on peut écrire un développement topologique Hk1,k2,…,kl ;m;n = X∞ h=0 N −2hH (h) k1,k2,…,kl ;m;n (3-4) pour toutes les fonctions de corrélation sélectionnant le genre h des surfaces ouvertes générées. Remarque 3.1 Le dévellopement topologique est une série formelle en 1 N2 et n’a donc aucune raison de converger. Cependant, chacun des coefficients F (h) est une fonction analytique de ses paramètres avec un rayon de convergence non nul comme nous allons le montrer dans ce chapitre. L’essentiel du travail présenté dans ce chapitre consiste `a calculer explicitement les différents termes F (h) et H (h) du développement topologique de n’importe quelle fonction de corrélation ainsi que de l’énergie libre. 

Cas particulier : modèle d’Ising

Nous avons considéré dans la partie précédente un modèle de matrices formel pour deux potentiels V1 et V2 génériques et des fractions de remplissage quelconques. Dans cette partie nous étudions le cas particulier o`u les valeurs propres de la matrice col autour de laquelle on développe sont toutes égales : la matrice est totalement dégénérée et une seule fraction de remplissage est non nulle et donc égale `a l’unité. Il n’y a alors qu’une seule couleur sur les surfaces générées. Sans perte de généralité, on peut supposer que cet unique point col (i.e. l’unique couple de valeurs propres des deux matrices col) se situe en (ξ, η) = (0, 0). Alors, la fonction de partition Zf orm est la fonction génératrice des surfaces fermées (connexes ou non) formées de k1-gones de spin +, avec k1 ≤ d1, et de k2-gones de spin -, avec k2 ≤ d2, recollés par leurs arêtes, en utilisant les poids suivants : – les k-gones de spin + sont comptés avec un poids N T tk ; – les k-gones de spin – sont comptés avec un poids N T t˜k ; – les arêtes communes `a deux polygones de spin + sont comptées avec un poids 1 N t2 t2t˜2−1 ; – les arêtes communes `a deux polygones de spin – sont comptées avec un poids 1 N t˜2 t2t˜2−1 ; – les arêtes communes `a deux polygones de spins différents sont comptées avec un poids 1 N 1 t2t˜2−1 ; – les sommets sont comptés avec un poids N. Les fonctions de corrélation Hk1,…,kl ;m;n(S1, S2, . . . , Sl ; x1, . . . , xm; y1, . . . , yn) sont alors les fonctions génératrices de telles surfaces connexes avec l + m + n bords et des conditions de bord différentes12 : – Les m bords associés aux variables xi ont une condition homogène de type + ; – Les n bords associés aux variables yi ont une condition homogène de type – ; – Les l bords associés aux cycles Si ont une condition de bord non homogène donnée par l’alternance de condition + et de condition – suivant l’alternance des variables xi,j et yi,j dans le cycle Si . Leur développement topologique permet alors de sélectionner le genre des surfaces générées : H (g) k1,…,kl ;m;n (S1, S2, . . . , Sl ; x1, . . . , xm; y1, . . . , yn) est la fonction génératrice des surfaces décrites plus haut avec la condition supplémentaire qu’elles soient de genre g. 12Il y a deux conditions de bord possibles décrites dans la partie 2. On appelera condition de type + (resp. de type -) la condtion obtenue en fixant un polygone de spin + (resp. -) `a l’extérieur de la surface 50 CHAPITRE 2. MODELE ` A DEUX MATRICES HERMITIENNES. ` Dans la suite, il sera parfois utile de représenter graphiquement ces fonctions de corrélation en référence aux surfaces générées. On représente la fonction de corrélation : H (g) k1,…,kl ;m;n (S1, S2, . . . , Sl ; x1, . . . , xm; y1, . . . , yn) := y1,k1 x1,k1 1 2 2 3 m S S S (g) n 1 l S1 x x y y x x y x y x1,1 1,1 1,2 1,2 1,3 (4-1) par une ”surface” de genre g avec l+m+n bords sur lesquels les conditions de bords + et – sont représentées par les variables x et y respectivement. Les bords o`u la condition est homogène ont été réduits en un point par souci de simplicité. De même, les fonctions de corrélation simples sont représentées par : W (g) m,n(x1, . . . , xm; y1, . . . , yn) := x1 x2 (g) x y y y1 2 m n . (4-2) Remarque 4.1 Cette représentation prend tout son sens quand les fonctions de corrélation sont effectivement fonctions génératrices de surfaces discrétisées, c’est-`a-dire lorsque l’on a un seul point col. Cependant, elle sera utile tout au long de cette thèse et sera reprise même lorsque l’interprétation combinatoire des fonctions de corrélation est légèrement modifiée par l’existence de fractions de remplissage.