ETUDE DE L’INFLUENCE DU MICROCHAMP ELECTRIQUE SUR LES PARAMETRES SPECTROSCOPIQUES DES PLASMAS

FONCTION DE DISTRIBUTION DU MICROCHAMP ELECTRIQUE (FDME)

La diversité des processus physiques qui se produisent au sein du plasma fait que la fonction de distribution du microchamp électrique FDME n’est pas facile à déterminer. On doit, dans son calcul en un point donné, tenir compte de l’influence de chacun de ces phénomènes. Le calcul théorique étant complexe, du fait du nombre important de variables et d’inconnues, des approximations sont nécessaires à différentes étapes. Souvent, les hypothèses d’équilibre thermodynamique et d’isotropie du milieu sont introduites. Ensuite, selon le type de plasma, les corrélations sont soit négligées soit prises en compte avec une certaine approximation. Plus on tient compte de ces corrélations plus les calculs théoriques de la FDME sont lourds et plus les outils mathématiques utilisés sont sophistiqués. L’utilisation de la simulation informatique des plasmas permet de contourner certaines difficultés. Dans les sections qui suivent nous présentons différentes méthodes, théoriques et de simulation, de détermination de la FDME. 1.1 FDME dans un plasma isotrope comportant une seule espèce d’ions Nous considérons un système constitué de N ions monochargés et N électrons. En l’absence d’un champ extérieur, le champ électrique qui règne en un point donné est la résultante des champs individuels créés par les particules chargées qui peuvent être en mouvement plus ou moins rapide. La distribution du champ dû au système de particules est liée à la distribution de ces particules. Pour déterminer le champ en un point neutre ou chargé, il faut raisonner en termes de probabilité. Soit ( ⃗ ) la probabilité d’avoir un vecteur champ électrique compris entre ⃗ et ⃗ ⃗ . ( ⃗ ) est calculée en introduisant la densité de probabilité ( ) d’avoir la répartition adéquate de ces particules : ( ⃗ ) ∫ ∫ ( ⃗ ∑ ⃗ ) ( ) (I.1.1) où est le delta de Dirac. Cette relation constitue le point de départ de plusieurs approches du calcul théorique de la FDME [1-6]. Ces approches diffèrent par le choix de l’expression de la densité de probabilité ( ) et du type de champ considéré ; ce dernier pouvant être coulombien ou de Debye. La probabilité de configuration à considérer dépend du type de plasma. Pour déterminer la densité de probabilité du module du champ électrique ( ) , on introduit la probabilité ( ) d’avoir un champ dont le module est compris entre E et E+dE : ( ) ( ⃗ ) (I.1.2) On en déduit la relation suivante entre les deux densités de probabilité. ( ) ( ⃗ ) (I.1.3) Pour calculer ( ⃗ ) et déduire ( ), il est plus commode de calculer sa transformée de Fourier notée ( ⃗ ) qui s’exprime par : ( ⃗ ) ∫ ⃗ ⃗ ( ⃗ ) ⃗ . (I.1.4) La transformation de Fourier inverse de ( ⃗ ) donnera ( ⃗ ) : ( ⃗ ) ( ) ∫ ⃗ ⃗ ( ⃗ ) ⃗ (I.1.5) Passant en coordonnées sphériques, on peut mettre l’expression de ( ⃗ ) sous la forme : ( ⃗ ) ( ) ∭ ( ⃗ ) (I.1.6.a) = ( ) ∫ ( ⃗ ) 0∫ ∫ 1 (I.1.6.b) = ∫ ( ⃗ ) ( ) (I.1.6.c) La combinaison des relations (I.1.3) et (I.1.6.c) donne la densité de probabilité du module du champ électrique sous la forme:  ( ) ∫ ( ⃗ ) ( ) (I.1.7) Le milieu étant supposé isotrope, ( ⃗ ) ne dépend que du module de ⃗ . On obtient alors: ( ) ∫ ( ) ( ) (I.1.8) La faiblesse des valeurs du microchamp suggère d’utiliser dans la pratique le champ réduit où est le champ dit normal de Holtsmark [3] donné par : | | . / (I.1.9) Dans (I.1.9) est la densité de particules et Zp leur nombre de charge. Le changement de variable : , conduit à une expression de la densité de probabilité de la forme: ( ) ∫ ( ) ( ) (I.1.10) On déduit de l’expression précédente la fonction de distribution du microchamp en multipliant les deux membres de l’équation par le champ normal ; d’où : ( ) ∫ ( ) ( ) (I.1.11) Puisqu’aucune hypothèse n’est faite sur les corrélations, cette expression de la fonction de distribution du champ électrique reste valable quelle que soit l’importance de ces corrélations dans le plasma. Les modèles de calcul du microchamp différent par l’expression du facteur ( ) qui est la transformée de Fourier de la fonction de distribution. Dans la suite, nous nous intéressons à son calcul pour différents types de plasmas. 11 1.2 Plasma idéal Dans un plasma peu dense et très chaud, les particules sont supposées statistiquement indépendantes. La probabilité de configuration globale ( ) peut être remplacée par un produit de probabilités ∏ ( ) où ( ), ( ), … sont les probabilités d’avoir respectivement la particule 1, la particule 2, … avec les vecteurs positions Toutes les probabilités ( ) sont égales à avec le volume de l’enceinte. La densité de probabilité ( ⃗ ) peut s’écrire à l’aide du delta de Dirac sous la forme: ( ⃗ ) ∫ ∫ ( ⃗ ∑ ⃗ ) (I.2.1) On en déduit la transformée de Fourier : = . (I.2.2.a) = . (I.2.2.b) L’utilisation du delta de Dirac permet de réécrire (I.2.2.b) sous la forme: = (I.2.3) ( ) = (I.2.4) Le passage en coordonnées sphériques donne après un calcul similaire à celui ayant conduit à la relation (I.1.7), l’expression suivante de la transformée de Fourier de la densité de probabilité: = (I.2.5.a) = (I.2.5.b) A(k) e w E dE ik E     ( ) 0 .  N      N N j j ik E e E E d r d r d r        3 2 3 1 3 1 . …  ( ) . … A(k) N      N ik E e d r d r d r N j j      3 2 3 1 3 . … . . … 1   N ik E e dr   3 1 1 . . 1     A(k)   N ikE ikE e e dr ikE r                  0 2 2 1   N dr kE kE r         0 2 4 sin( )   12 Mais cette forme est difficilement utilisable dans le calcul de la densité de probabilité obtenue en (I.1.8). Il devient nécessaire de faire un calcul approché en introduisant l’identité: ( ) . ( ) / (I.2.6) on peut alors, en posant , mettre la relation (I.2.5.b) sous la forme : = (I.2.7) Pour calculer le premier terme dans l’expression ci-dessus, on peut intégrer par rapport à r et on remarque : . (I.2.8) Le calcul du second terme s’effectue en considèrant le champ coulombien . (I.2.9) On obtient alors: = . (I.2.10) = , (I.2.11) avec : f(Y) = . (I.2.12) Si on ne retient que les premiers termes des développements de sinY et cosY dans (I.2.12), on remarque alors que f(Y) est nul. L’intégrale dans le second terme de (I.2.11) donne . Ces résultats permettent d’écrire ( ) sous la forme : A(k) N rM rM dr Y Y r dr r                           0 2 0 2 sin 1 4   1 4 0 2   rM r dr   2 p r Z e E           0 2 sin 1 4 dr Y Y r             0 5 / 2 3/ 2 sin 1 2 Y dY Y Y kZ ep   2 3/ 2 kZe          0 0 3/ 2 sin 15 4 ( ) dY Y Y f Y 3/ 2 5 / 2 3/ 2 cos 15 sin 4 5 2 3 2 Y Y Y Y Y    2 13 = (I.2.13.a) L’expression ci-dessus peut être ramenée à : = . (I.2.13.b) Le second terme dans le crochet est petit devant l’unité en vertu de la grande taille du système et de la petitesse du facteur . On peut alors faire l’approximation suivante : ( )≈ = ( | |) (I.2.14) ( ) , (I.2.15) avec | | . / (I.2.16) Dans l’expression (I.2.15), on retrouve les deux premiers termes du développement en série de la fonction ( ). On peut donc écrire : ≈ . (I.2.17) La relation (I.2.17) permet de déduire l’expression finale de la FDME dite de Holtsmark en l’introduisant dans (I.1.11). Ce qui donne : ( )= . (I.2.18) Dans la figure I.1, nous donnons à titre de comparaison la courbe que nous avons obtenue à partir d`une programmation de l’expression (I.2.18) et celle obtenue à partir des résultats publiés [7] de Holtsmark. Cette comparaison permet de tester le programme informatique de travail. A(k) N p kZ e                    2 15 2 4 1 3/ 2 A(k) N p kZ e                       15 8 2 1 3/ 2               15 8 2 1 3 / 2 kZ e N p 3/ 2 1 x A(x) 3/ 2 x e   2    0 . .sin( ). 3/ 2 x e x dx x   14 Fig.I.1 : Fonction de distribution de Holtsmark L’analyse de ces courbes montre que les champs les plus probables sont ceux dont le module est environ égal à 1,5 fois le champ normal et que les champs les plus intenses et les champs trop faibles sont moins probables. La fonction de distribution de Holtsmark est obtenue en négligeant l’effet des particules voisines sur le champ électrique créé par une particule donnée. Cette approximation se justifie lorsque l’énergie potentielle d’interaction entre deux ions est négligeable devant leur énergie d’agitation thermique. Ces conditions sont satisfaites dans certains types de plasmas, notamment dans les plasmas chauds et peu denses qu`on trouve dans les couches périphériques des étoiles. Mais elles ne sont pas réunies en général dans le cas des plasmas intra stellaires. Ce modèle doit être amélioré pour pouvoir s’appliquer à d’autres types de plasma.

 Prise en compte de l’effet d’écran

Distribution d’Ecker Dans un plasma, un ion est entouré d’un nuage d’électrons et d’autres ions. Le potentiel et le champ qu’il crée en un point donné du plasma n’est donc pas rigoureusement coulombien. Ainsi, la probabilité de trouver un ion dans l’unité de volume n’est pas rigoureusement comme nous l’avons considéré dans la théorie de Holtsmark, où est la densité des particules. Cette probabilité dépend du potentiel d’interaction électrostatique des particules. Pour tenir compte de ces interactions, on introduit le facteur de Boltzmann . /. Dans la suite, nous calculons ce potentiel dans l’hypothèse des faibles interactions. Les fonctions de distribution respectives des électrons et des ions s’écrivent : 8 (I.3.1) La densité de charge électrique du plasma étant définie par ∑ , (I.3.2.a) où et sont les densités respectives d’électrons et d’ions, on peut exprimer cette densité sous la forme: ( ∑ ) (I.3.2.b) Cette relation est obtenue en tenant compte de la neutralité électrique du plasma: ∑ . Toutes les particules contribuent dans la valeur de cette densité de charge. Le potentiel obéit à l’équation de Poisson : (I.3.3) En introduisant (I.3.2) dans (I.3.3), on obtient, l’équation de Debye-Hückel (I.3.4) où est la longueur de Debye définie par : [ ( ∑ ) ] (I.3.5) On doit tenir compte des deux conditions aux limites suivantes : le potentiel est nul à l’infini, et on doit retrouver le potentiel coulombien d’un ion lorsque . Dans ces conditions, la résolution de l’équation différentielle donne : ( ) . / (I.3.6) On en déduit le champ électrique créé par l’ion : ⃗ ⃗ . / . / (I.3.7) Pour tenir compte de l’effet d’écran on introduit le facteur de Boltzmann dans la fonction de partition initialement définie dans le modèle de Holtsmark. Le calcul de la FDME se fait en considérant que le champ créé par l’ion est négligeable au-delà de la longueur de Debye et que pour , le champ est diffusé par les électrons qui se situent autour de l’ion et prend la forme (I.3.7). Ce calcul conduit à l’expression de la FDME dite d’Ecker [4]: ( )= . (I.3.8) où la fonction est définie par : ( )= (I.3.9) Dans (I.3.8) le paramètre δ défini par : représente le nombre d’ions dans la sphère de Debye. Il exprime l’importance de l’effet d’écran. La différence entre le modèle de Holtsmark et celui d’Ecker peut s’exprimer à l’aide du paramètre δ. On remarque, en considérant la relation (I.3.5), que δ est proportionnel à . Ainsi plus δ est grand, plus les résultats d’Ecker seront proches de ceux de Holtsmark obtenus en supposant les températures très élevées et les densités très basses. Inversement, plus δ est petit plus les effets d’écran se font ressentir et plus on s’éloigne du modèle de plasma de Holtsmark.           2 2    0 2 exp( .g(y)).y.sin(. .y)dy          y z z dz z y 1/ 2 1/ 2 sin( ). 1 . . 1 2 3 Dni 3 3 4    1/ 2 3 / 2 ni T 17 Dans la figure I.2, nous avons tracé la FDME d’Ecker donnée par (I.3.8) pour ces deux cas, c’est-à-dire pour une petite valeur (3) et pour une grande valeur (50) du paramètre .