GERALISATION DE FORMULE DE L’INVERSION DE LAGRANGE NONCOMMUTATIVE

Dans ce chapitre, on étudie la deuxième famille d’algèbres de Hopf de Foissy, qui interpole entre HNC et l’algèbre de Hopf des fonctions symétriques non commutatives. En particulier, on généralise plusieurs formes de la formule d’inversion de Lagrange non commutative en donnant diverses formules qui permettent de calculer l’antipode de cette déformation. Les notations introduites dans le chapitre précédent seront encore utilisées dans ce chapitre.

L’algèbre de Fa´a di Bruno non commutative déformée

Dans [9], Foissy étudie également les équations de Dyson-Schwinger dans l’analogue non commutatif de l’algèbre de Connes-Kreimer. Par un travail similaire `a celui qu’on a évoqué dans le chapitre 4, il construit ainsi une famille `a un paramètre d’algèbres de Hopf qui interprole entre l’algèbre des fonctions symétriques non commutatives et l’algèbre de Fa´a di Bruno non commutative. En temps qu’algèbres associatives, ces algèbres sont toutes isomorphes `a l’algèbre des fonctions symétriques non commutatives, ce qui nous permettra de voir le coproduit correspondant comme un coproduit sur cette algèbre. On note HNC γ l’algèbre de Fa´a di Bruno non commutative déformée, ∆γ son coproduit et sγ son antipode, o`u γ est un paramètre réel. Comme HNC γ est isomorphe `a Sym en temps qu’algèbre associative, il suffit pour définir HNC γ de donner une formule de définition pour ∆γ(Sn). En effet, Sym est engendrée par les Sn et ∆γ est un coproduit, donc un morphisme d’algèbres. Ainsi, on définit ∆γ par ∆γ(Sn(A)) = Xn k=0 Sk(A) ⊗ Sn−k((k + 1)A). (6–557) Foissy montre que les HNC γ sont toutes isomorphes `a HNC, sauf HNC 0 qui est isomorphe `a Sym munie de sa structure usuelle d’algèbre de Hopf. Dans un premier temps, nous 97 Une géralisation de la formuled’inversion de Lagrange noncommutative .

Un morphisme d’algèbres

On suppose dans cette partie que que γ est un entier strictement positif, et on introduit un morphisme d’algèbres φγ tel que φγ ◦ s = sγ. (6–597) 6.3.1 Définition du morphisme φγ et liens avec HNC γ Soit γ un entier strictement positif, et soit φγ le morphisme d’algèbres défini de Sym dans elle-mˆeme par φγ(Sn) =  Sn/γ si γ|n 0 sinon. (6–598) Il est facile de voir que φγ vérifie φγ ◦ φγ ′ = φγγ′ (6–599) On appelle ψγ l’opérateur adjoint `a φγ, au sens o`u hφγ(F), Gi = hF, ψγ(G)i. (6–600) Ici, F est une fonction symétrique non commutative, G est une fonction quasi-symétrique, et le crochet correspond `a la dualité entre H0 et l’algèbre des fonctions quasi-symétriques munie de sa structure classique d’algèbre de Hopf. Il est facile de voir que ψγ est défini de QSym dans elle-mˆeme par ψγ(MI ) = M(γi1,γi2,…) . (6–601) L’action de cet opérateur sur une fonction quasi-symétrique F quelconque consiste `a élever tous les monˆomes `a la puissance γ dans la réalisation polynomiale de F. On en déduit que ψγ est également un morphisme d’algèbres. On peut aussi déduire de σ ∗ 1 = P I αIS I et de la définition de φγ que φγ(σ ⋆ 1 ) = X I α(γi1,γi2,…)S I . (6–602) D’autre part, on a d’après (5–366) α˜I = α(γi1,γi2,…) . (6–603) Les formules (5–384) et (5–488) donnent une interprétation combinatoire de αI , qui est αI = (−1)l(I) ♯{F ∈ NDP F(|I|)/F ≤ p(I ′ )}. (6–604) L’identité (6–603) permet d’en déduire l’interprétation combinatoire suivante pour ˜αI . Proposition 6.3.1. Lorsque γ est un entier strictement positif, le coefficient α˜I correspondant est donné pour toute composition I par α˜I = (−1)l(I) ♯{F ∈ NDP F(γ|I|)/F ≤ p(I ′ ) γ },