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Formalismes d’homogénéisation analytique

Nous rappelons les différentes lois de mélange fournissant la permittivité eff (ω) ef-fective à partir des propriétés électromagnétiques des inclusions i(ω) et du milieu hôte h(ω). Les inclusions sont supposées sphériques et occupent une fraction volumique f dans le milieu hôte (Fig.8), leurs interactions sont négligées. Elle sont distribuées aléatoirement dans ce dernier qui occupe alors la fraction volumique 1 − f. Le matériau hôte ainsi que l’inclusion sont considérés dans ce qui suit isotropes, mais il est possible de généraliser les formules de mélange aux matériaux bianisotropes pour lesquels les champs électriques et magnétiques sont couplés, et les paramètres électromagnétiques des dyadiques 3 x 3.
À travers divers cheminements, ces formalismes se proposent de retrouver les para-mètres électromagnétiques équivalents. Ils reposent sur un principe commun : décrire les inclusions comme autant de moments dipolaires microscopiques dont la moyenne est la polarisation électrique macroscopique.
Les lois analytiques trouvées sont toutes de la forme eff = F( i, h, f). La permittivité effective variera en fonction de la fréquence lorsque les matériaux à homogénéiser sont isotropes et dispersifs.

Lois de mélange dans le domaine fréquentiel

Formalisme de Maxwell-Garnett

Nous définissons la permittivité électrique hDi = eff hEi comme le rapport de pro-portionnalité entre le champ et la densité de flux électrique macroscopique. Les moyennes spatiales sont intégrées sur l’ensemble de la cellule à homogénéiser C de volume |C|. hfi = 1 Z f(M)dM. (1)
Ces quantités moyennes s’écrivent comme la somme des champs dans l’inclusion et le milieu hôte, pondérés par la fraction volumique :
hDi = f iEi + (1 − f) hEh, (2)
hEi = f Ei + (1 − f)Eh. (3)
Nous constatons que l’hypothèse de sphéricité de l’inclusion n’intervient que pour le calcul du rapport des champs. Le formalisme de Maxwell-Garnett (MG) n’est en toute rigueur valable que lorsque les interactions des inclusions, considérées sphériques, sont négligeables. On suppose donc qu’elles sont petites et bien espacées. Il peut être rigoureu-sement étendu aux inclusions elliptiques, mais ne sera qu’une approximation dans le cas d’inclusions aux formes plus complexes.

Formalisme de Clausius-Mossotti

La démarche est ici différente puisque nous cherchons à déterminer la permittivité effective en fonction de la polarisabilité des inclusions sphériques. La permittivité effective est toujours définie de la même manière hDi = eff hEi, mais nous posons en plus hDi = hhEi + hP i. ~ est la somme des polarisations microscopiques
La polarisation moyenne hP i = n~pi des n sphères présentes par unité de volume. Les polarisations microscopiques p~i = αEi s’alignent sur le champ local. Ce dernier s’écrit avec un facteur de dépolarisation 1/3 pour une sphère : hEii = hEi + 3 h hP i. (6)
On aboutit à la relation de Clausius-Mossotti, dite aussi de Lorenz-Lorentz, en combinant les relation précédentes :
eff − h = nα . (7)
eff + 2 h
L’utilisation de l’expression de la polarisabilité permet de trouver la formulation de Ray-leigh, équivalente à la loi de Maxwell-Garnett.
eff − h = f i − h . (8)
eff + 2 h
i + 2 h

Lois de puissances

Un modèle largement utilisé est celui des lois de puissances où la permittivité effective s’écrit simplement en fonction des puissances des permittivités de l’inclusion et du milieu hôte, pondérées par leurs fractions volumiques : effβ = f iβ + (1 − f) hβ. (9)
Les modèles de Silberstein [LR31] (β = 1), Birchak [BGHV74] (β = 1/2) et Looyenga [Loo65] (β = 1/3) sont les cas particuliers les plus connus, mais on intègre aussi dans ces lois de puissance le modèle de Lichtenecker [Sim10] eff = if h1−f , qui n’est autre qu’une moyenne logarithmique des permittivités (Fig.9).

Formalisme généralisé

D’autres formalismes qui ne sont pas basés sur la polarisabilité d’une sphère diélec-trique donnent des résultats équivalents. Nous citerons la loi de Bruggeman qui donne la permittivité effective d’un matériaux constitué de N phases de permittivité i et de fractions volumiques fi. Aucune distinction n’est faite entre inclusions et milieu hôte, les deux jouant un rôle équivalent : N i − eff = 0. (10) i=1 i + 2 eff
Avec le modèle du potentiel cohérent [EKL74] , c’est la perturbation de l’inclusion lorsque immergée dans le milieu homogénéisé qui permet de calculer les paramètres équi-valents de ce dernier. La permittivité effective est définie par une relation implicite : eff = h + 3f eff 3 eff − f(1 − f)( i − h).
Tous les formalismes précédemment cités se généralisent en une unique loi :
eff − h = f i − h ,
eff + 2 h + ν( eff − h) i + 2 h + ν( eff − h)
où ν est un coefficient sans dimension, valant :
— zéro pour le formalisme de Maxwell-Garnett,
— deux pour le formalisme de Bruggeman,
— trois pour le formalisme du potentiel cohérent.
Notons enfin que ces lois sont soumises à des bornes de validité dites de Hashin-Shtrikman [HS62] qui correspondent aux permittivités minimales et maximales correc-tement prévues, et qui ne sont autres que les permittivités effectives fournies par (MG) lorsqu’on inverse les rôles de l’inclusion et du milieu hôte :
1 = + 3f i − h , (13)
eff h h i + 2 h − f( i − h)
2 = +3(1− f h − i . (14)
i h + 2 i − (1 − f)( h − i)
eff i )

Lois de mélange dans le domaine temporel

L’homogénéisation de deux matériaux dispersifs dans le domaine fréquentiel ne néces-site pas de traitement particulier, il suffit d’appliquer la loi de Maxwell-Bruggeman pour chaque fréquence. En revanche, leur mélange dans le domaine temporel exige un traite-ment algébrique particulier qu’il est intéressant d’étudier ici. Nous considérons toujours une inclusion sphérique dont la polarisation P est régie par une forme convolutionelle :
D(~r, t) = (~r)E (~r, t) + P (~r, t), = (~r)E~ (~r, t) + (χ ∗ E~)(~r, t0), (15)
(χ E)(t) = χ(t t )E(t )dt .
La fonction χ est le noyau de susceptibilité et contient toute l’information sur le ca-ractère dispersif du matériau. De manière similaire, nous sommes en mesure de définir le noyau de susceptibilité magnétique, voire de présenter ce noyau sous forme de dyadique 6×6 dans le cas de matériaux bianisotropes. En vue de simplifier le propos, nous nous limiterons au noyau de susceptibilité électrique de matériaux isotropes.
La causalité empêche le futur d’affecter la polarisation. La borne supérieure de l’inté-grale (Eq.15) est donc t. D’autre part, il est légitime de commencer l’intégration au temps initial car on estime que le noyau de susceptibilité, contenant la mémoire de la réponse diélectrique, est nul pour t ≤ 0.
Une transformation de Fourier donne la permittivité généralisée dans le domaine fré-quentiel : Z +∞
(ω)= + χ(t)e−iωtdt. (16)

Mélange de deux matériaux dispersifs

Nous considérons que l’inclusion sphérique dispersive de noyau de susceptibilité χi et de permittivité εi = i∞+χi ∗ est immergée dans un milieu hôte de permittivité εh = h∞+χh ∗. Une démarche similaire à celle utilisée dans le domaine fréquentiel permet d’aboutir à la relation de Maxwell-Garnett dans le domaine temporel : εeff = εh + 3f(εi − εh)(εi + 2εh − f(εi − εh))−1εh. (17) Avec toutefois une différence notable : la permittivité n’est plus une valeur algébrique mais un opérateur ε. Ceci implique que les multiplications sont des convolutions et les divisions des inversions d’opérateurs (ou déconvolutions).
Le calcul de l’inverse d’un opérateur de convolution A, s’écrivant sous la forme A = 1 + A∗, nécessite le recours à un opérateur résolvant Ares et la fonction δ de Dirac :
A−1 = (1 + A∗)−1 = 1 + Ares∗ = (δ + Ares)∗ (18)
Cet opérateur résolvant vérifie l’équation intégrale linéaire de Volterra : Ares(t) + A(t) + (Ares ∗ A)(t) = 0, (19) dont la solution est unique et s’écrit sous forme de série [KK92] : Ares = (−1)k(A∗)k−1A. (20)
Ce résultat nous est utile car nous aurons à inverser des opérateurs permittivité de la forme a + A∗. En supposant que la déconvolution s’écrit sous la même forme b + B∗, on trouve que :
A ∗ B = B ∗ A = δ∗ = ab + (aB + bA + A ∗ B)∗ (21)
Il suffit de prendre b = 1/a pour que le resolvant B soit solution de l’équation : 0 = a2B(t) + a(A ∗ B)(t) + A(t). (22)
La simplification de l’équation de Maxwell-Garnett est plus délicate dans le domaine temporel puisqu’elle nécessite le calcul de cet opérateur inverse. Nous nous intéresserons par la suite aux cas où seule l’inclusion est dispersive, et nous pourrons calculer analyti-quement le noyau de susceptibilité effectif [KK92] : εeff = h + 3f h( i − h + χi∗)( i + 2 h − f( i − h) + (1 − f)χi∗)−1. (23)

Modèles de polarisation

La polarisation correspond à la réponse d’un matériau à l’excitation d’un champ exté-rieur. Cette réponse peut consister en un déplacement de charges électroniques ou ioniques, ou un changement de l’orientation des dipôles [Sih99]. La matière étant composée de dis-tributions de charges, ces réponses aux excitations peuvent être distinguées (Fig.10) :
— Polarisation électronique : due à l’oscillation du centre de masse du nuage électronique, la fréquence de résonance est située dans l’ultraviolet.
— Polarisation ionique et atomique : la présence du nuage électronique fait que les atomes acquièrent aussi une charge et se déplacent sous l’effet d’un champ électrique. La fréquence de résonance est située entre l’infrarouge et le visible.
— Polarisation orientationelle : ce mécanisme ne concerne que les molécules ex-hibant un moment dipolaire permanent. Celui-ci s’aligne sur le champ électrique excitateur, d’où la dénomination de polarisation orientationelle. La réponse typique se situe dans les fréquences radio ou micro-ondes. — Polarisation interfaciale : l’accumulation de charges sur les interfaces entre deux milieux différents peut entraîner de fortes augmentations de la polarisabilité en basse fréquence.
Si plusieurs mécanismes de polarisation peuvent caractériser un matériau, un des mo-dèles suivants le décrira convenablement sur une certaine fenêtre fréquentielle.

Homogénéisation par éclatement périodique

Bien que l’on puisse aisément utiliser les lois de mélange analytiques que nous ve-nons de présenter, elles restent fortement limitées par la géométrie des inclusions et leur concentration dans le milieu hôte. D’autre part, le calcul n’est pas évident lorsqu’on sou-haite mélanger deux matériaux dispersifs. On préfère alors avoir recours à des méthodes d’homogénéisation numériques fondées sur un processus de limite. Nous nous intéressons ici plus particulièrement à la méthode de l’éclatement périodique, et sa mise en œuvre pour homogénéiser des matériaux périodiques. Cette technique permet d’homogénéiser aussi bien dans le domaine temporel que fréquentiel les matériaux les plus généraux qui existent : bianisotropes dispersifs et conducteurs [BGM04]. Elle a été appliquée avec succès pour des matériaux bianisotropes non dispersifs en 3D [Ouc06] et isotropes dispersifs en 2D [BBC+06]. Nous sommes en mesure de prendre en compte l’intégralité des effets en 3D, mais en vue de simplifier l’exposé, préférons nous limiter au cas plus simple de matériaux anisotropes dispersifs conducteurs.

Position du problème

Considérons un réseau périodique dont les motifs se répètent (Fig.11(a)) avec une période α. Cette structure occupe le domaine Ω et est constituée de cellules cubiques Cα de permittivité h, perméabilité µh, dont les conductivités électrique et magnétique sont σhE,H et les noyaux de susceptibilité χE,Hh . Chaque cellule contient une inclusion I de forme quelconque ayant des caractéristiques électromagnétiques indexées par i. Nous définissons une cellule de référence C = [0, 1]3 de dimensions unitaires (Fig.11(b)). Les cellules dont est constitué le réseau étudié sont obtenues par une homothétie Cα = αC. La cellule élémentaire est générée par une base de vecteurs orthonormaux {V1, V2, V3}, et le réseau étudié, C α = [0, α]3 périodique, est obtenu par l’ensemble des translations Tα={~τ=P 1 ατiV~i, τi ∈ Z}.
Les matériaux étant supposés anisotropes dispersifs et conducteurs, le réseau pério-dique est régi par les relations constitutives qui font intervenir des propriétés électroma-gnétiques sous forme de dyadiques 3×3.
Pour tout vecteur ~r ∈ R3, la quantité [~r] ∈ Z3 est définie comme l’unique entier tel que {~r} = ~r − [~r] soit dans la cellule élémentaire C. Ce sont des généralisations (Fig.12) des parties entière et fractionnaire définies normalement sur R. En outre, la périodicité assure l’existence de matrices A, B et C telles que :A({α~r }) = Aα(~r), B({α~r }) = Bα(~r) et C({α~r }, t) = Cα(~r, t) [CDG08].
La méthode de l’éclatement périodique repose sur l’utilisation d’un opérateur Ξα d’écla-tement [CDG08] dépendant de la période pour introduire deux échelles d’observation : microscopique y et macroscopique x. L’idée consiste alors à reléguer les fortes fluctuations des paramètres constitutifs à l’échelle microscopique.
La variable microscopique y n’est autre que la partie fractionnaire {x/α}. Ainsi, en utilisant la bonne échelle, mais en augmentant la dimension du problème, nous sommes en mesure de transformer un comportement fluctuant en convergence faible, voire forte. L’exemple présenté (Fig.13) est éloquent puisque les oscillations de la fonction choisie ont disparu de l’échelle macroscopique.

Table des matières

Introduction 
I Éclatement périodique dans le domaine temporel 
État de l’art des méthodes d’homogénéisation
1 Formalismes d’homogénéisation analytique
1.1 Lois de mélange dans le domaine fréquentiel
1.1.1 Formalisme de Maxwell-Garnett
1.1.2 Formalisme de Clausius-Mossotti
1.1.3 Lois de puissances
1.1.4 Formalisme généralisé
1.2 Lois de mélange dans le domaine temporel
1.2.1 Mélange de deux matériaux dispersifs
1.2.2 Modèles de polarisation
1.3 Conclusion
2 Homogénéisation par éclatement périodique 
2.1 Position du problème
2.2 Opérateur d’éclatement périodique
2.3 Éclatement du réseau
2.4 Formulation variationnelle du problème homogénéisé
3 Simulation d’une structure périodique dispersive 
3.1 Discrétisation temporelle
3.2 Discrétisation spatiale de la forme variationnelle
3.2.1 Méthode des éléments finis
3.2.2 Application au calcul des paramètres effectifs
3.3 Prise en compte de la périodicité
3.4 Conclusion
4 Résultats des simulations 
4.1 Impact de la géométrie de l’inclusion
4.2 Effet du contraste de permittivité : cas de la neige sèche
4.3 Homogénéisation d’un gruyère anisotrope
4.4 Homogénéisation dans le domaine temporel
4.5 Dans le domaine fréquentiel : le mélange éthanol-eau
4.6 Permittivité extrinsèque négative
Conclusion et perspectives
II Homogénéisation dans le domaine fréquentiel d’un réseau d’anneaux fendus 
Introduction à l’homogénéisation dynamique
1 Formulation théorique de la perméabilité effective 
1.1 Position du problème
1.2 Homogénéisation par décomposition de Floquet-Bloch
1.2.1 Décomposition de Floquet-Bloch
1.2.2 Homogénéisation des équations de Maxwell
1.3 Nécessité d’un second paramètre
1.3.1 Formulation variationnelle du problème homogénéisé
1.3.2 Introduction des pertes par effet Joule
1.4 Formulation analytique pour les structures bidimensionnelles
1.5 Conclusion
2 Discrétisation du problème 
2.1 Maillage du modèle
2.2 Simulation d’une boîte vide avec conditions périodiques
2.3 Prise en compte du potentiel multivoque
2.3.1 Problème discrétisé sans pertes
2.3.2 Problème discrétisé avec pertes
2.4 Conclusion
3 Simulation d’un réseau anneaux fendus 
3.1 Structure du programme
3.2 Calcul de la perméabilité effective
3.3 Carte du champ électromagnétique
3.4 Influence de divers paramètres
3.4.1 Finesse du maillage
3.4.2 Dimensions de l’anneau
3.4.3 Propriétés électromagnétiques des matériaux utilisés
3.5 Simulation de structures bidimensionnelles
Conclusions et perspectives 87
III Caractérisation de métamatériaux en espace libre 
État de l’art des méthodes de caractérisation
1 Banc de caractérisation en espace libre 
1.1 Architecture du banc
1.2 Dimensionnement des lentilles focalisantes
1.3 Étalonnage en transmission-réflexion
1.4 Filtrage temporel
1.5 Calcul des paramètres effectifs
1.5.1 Inversion de Nicholson-Ross-Weir (NRW)
1.5.2 Algorithme itératif NIST
2 Résultats expérimentaux des caractérisations 
2.1 Corrections de la mesure
2.1.1 Nécessité de l’étalonnage
2.1.2 Effet du filtrage temporel
2.2 Calcul des paramètres constitutifs de diélectriques
2.2.1 Plaque de plexiglas
2.2.2 Plaque d’alumine
2.3 Mesure de métamatériaux
2.3.1 Surfaces à Haute Impédance à base de champignons
2.3.2 Réseau d’anneaux fendus
2.3.3 Réseau de fils métalliques
Conclusion et perspectives
Conclusion générale 
Annexes 
A Polarisabilité d’une sphère diélectrique
B Systèmes linéaires avec contraintes
C Coordonnées barycentriques
D Cornets quadri-striés
Table des figures
Liste des tableaux
Liste des publications
Bibliographie 

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