Identification des systèmes en boucle fermée
Exposé du problème
L’Automatique consiste en l’étude des systèmes réels des différentes disciplines scientifiques (Electronique, mécanique, thermique, chimie, écologie, biologie, économie, sociologie, physique, cosmologie…), en vue de l’analyse, de la prédiction, de la surveillance, de la commande, et / ou de l’optimisation des systèmes. La condition nécessaire pour cela est l’obtention d’un modèle mathématique du système réel (on réalise une modélisation). Un système est un objet dans lequel des variables de différents types interagissent et produisent des signaux observables. Lorsque le modèle du système n’est pas connu, il est nécessaire de procéder à son identification.
En effet, la modélisation réalisée à partir d’un comportement du système et / ou de lois physiques, consiste à déterminer la structure des équations qui régissent le comportement de ce système, et aussi, à fixer, a priori la valeur de ses paramètres (longueurs, masses, inerties, capacités, résistances, frottements…). Mais, il est souvent impossible d’obtenir une connaissance à priori complète et précise de tous les paramètres du modèle. Pour affiner et compléter cette connaissance, il est alors nécessaire de procéder à une identification du système : à partir des réactions de celui-ci à des sollicitations données et connues. On peut, si le système est observable, identifier les paramètres encore inconnus [BOURLES – Oct. 01].L’Identification, bien que représentant un des grands chapitres de l’automatique, ne peut plus être considérée comme seulement une partie intégrante de cette discipline, à l’usage essentiel des stratégies de commande ou de diagnostic. Son emploi en sciences de l’ingénieur, parfois avec une terminologie différente, montre qu’elle constitue une discipline à part entière des sciences expérimentales, intimement associée à la modélisation. L`Identification, ou la recherche de modèles à partir de données expérimentales, est une préoccupation majeure dans la plupart des disciplines scientifiques. Elle désigne a la fois une démarche scientifique et un ensemble de techniques visant à déterminer des modèles mathématiques capables de reproduire aussi fidèlement que possible le comportement d’un système physique, chimique, biologique, économique…
Dans la vie courante, la plupart des systèmes peuvent être appréhendés en utilisant des modèles mentaux, sans avoir besoin de procéder à une formalisation mathématique. Par exemple, la conduite d’une automobile, nécessite de savoir, que tourner le volant vers la droite, permet de faire tourner le véhicule vers la droite. L’ensemble des informations, de force, d’amplitude de mouvement … étant en quelque sorte stockées dans le cerveau via le muscle. L’apprentissage de la conduite consiste en une identification par le conducteur de l’ensemble du système (véhicule, route, environnement, conducteur…). Au départ, les trajectoires sont peu sûres, et au fur et à mesure que la base d’expérience du conducteur grandit, les erreurs d’approximation du système faites par le conducteur se réduisent, jusqu’à obtention de la connaissance du système à un ordre de plus en plus élevé de la part du conducteur. Pour cela, le conducteur, à l’aide de ses organes sensoriels (œil, bras, oreille…), réalise en permanence des mesures de l’état du système en fonction des sollicitations qu’il impose à son véhicule. L’identification des systèmes commandés à l’aide de calculateurs nécessite, en revanche de décrire leurs propriétés au moins à l’aide de valeurs mesurées (tables de valeurs) ou de représentations graphiques, afin de déterminer leur réponse à un échelon, ou en fréquence (identification non paramétrique). Pour des systèmes complexes, il est nécessaire d’utiliser des modèles mathématiques (identification paramétrique). L’utilisation de modèles mathématiques est inhérent à tous les domaines des techniques de l’ingénieur et de la physique. Elle aide à la conception des systèmes et est un instrument de simulation et de prédiction qui est très largement utilisé dans tous les domaines, y compris dans des activités non techniques comme l’écologie, l’économie, la sociologie ou la biologie. Un modèle doit être construit a partir de données observées (le modèle mental de la conduite d’un véhicule est développé à l’aide de l’expérience de la conduite). Un système réel est un objet constitué d’éléments de complexité variable, à l’image même d’un modèle mathématique. Selon LJUNG, il existe un impénétrable mais transparent écran entre la description mathématique de notre monde et le monde réel. On peut regarder à travers cette fenêtre et comparer certains aspects du système physique avec sa description mathématique, mais il est impossible d’établir une relation exacte entre les deux. La question de la susceptibilité de la nature à sa description mathématique présente de vrais et profonds aspects philosophiques. Nous devons avoir cependant une vue pragmatique des modèles. Il est préférable de choisir un modèle en considérant davantage son utilité que sa « vérité ».En automatique, on distingue deux approches pour l’identification des systèmes :
• Approche en boucle ouverte
• Approche en boucle fermée
A partir des résultats généraux de l’identification des systèmes, l’objectif de ce document, est de présenter la problématique des systèmes fonctionnant en boucle fermée, puis les techniques spécifiques.
Présentation l’étude
Afin de nous munir des éléments essentiels à la compréhension de cette étude, nous nous attacherons dans un premier temps à décrire les méthodes générales de l’identification. Nous présenterons ensuite les caractéristiques des approches en boucle ouverte et en boucle fermée afin de préciser les éléments qui induisent le choix de l’une par rapport à l’autre autre. Les éléments théoriques et pratiques de l’identification en boucle fermée, ainsi que les résultats de ces techniques seront abordés dans la troisième partie de cette étude. Nous complèterons cette présentation par une étude pratique réalisée avec le logiciel MATLAB-SIMULINK. Afin de mettre en évidence les avantages de l’identification en boucle fermée, nous présenterons enfin, quelques exemples d’applications.
Conclusion préliminaire
Cette étude est une nouvelle fois l’occasion d’affirmer la transversalité de l’automatique et de montrer son large champ d’application. L’identification constitue un outil puissant de l’automatique. L’approche en boucle fermée, faisant l’objet de nombreux travaux récents, promet de répondre à un nombre toujours plus croissant d’identifications des systèmes.
Les méthodes générales d’identification
Identifier un processus (système), c’est chercher un modèle (dynamique) mathématique, appartenant à une classe de modèles conue, et qui, soumis à des signaux tests (en entrée), donne une réponse (dynamique et statique en sortie), la plus proche possible du système réel [VILLAIN – 1996].La notion de modèle mathématique d’un système, d’un processus ou d’un phénomène, est un concept fondamental. Il existe une multitude de types de modèles, chacun étant destiné à une application particulière. Nous pouvons les décliner en deux grandes catégories :
• Les modèles de connaissance (basés sur les lois de la physique, de la chimie…), donnent une description complète des systèmes et sont utilisés pour la simulation et la conception des procédés. Ce sont souvent des modèles complexes.
• Les modèles dynamiques de commande, qui donnent la relation entre les variations des entrées d’un système et les variation de la sortie, sont utilisés en automatique.
Les modèles dynamiques sont de deux sortes :
• Modèles non paramétriques (réponse fréquentielle, réponse à un échelon)
• Modèles paramétriques (fonction de transfert, équations différentielles)
Modèles non paramétriques
Analyse fréquentielle
Les essais expérimentaux harmoniques sont rarement employés, car ils sont longs et fastidieux. Des essais réalisés avec une pulsation comprise entre 0.1*ωc et 10*ωc, avec une grande constate de temps pour le processus, peuvent durer des heures, d’autant plus qu’il est parfois nécessaire de recommencer deux à trois fois l’expérimentation pour chaque pulsation (on doit attendre le temps d’établissement pour chaque mesure). Les outils classiques de l’automatique sont utilisés pour l’analyse de la réponse en fréquence du système à identifier : Bode, Nyquist, Black…
Réponse impulsionnelle
Un système linéaire invariant est entièrement caractérisé par sa réponse à un Dirac, dont la transformée de Fourier est constante sur tout le spectre. La transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle du système est sa fonction de transfert. Un Dirac « réel », peut être approché, du point de vue de ses effets, par une impulsion brève, de durée finie et d’énergie limitée. La réponse du système, est en conséquence faible et bruitée, donc difficilement exploitable. Ainsi, pour atteindre la réponse impulsionnelle h(t) par voie indirecte, il est possible d’appliquer les techniques de corrélation. Le processus est alors excité par une Séquence Binaire Pseudo Aléatoire (S.B.P.A.). Notons que l’utilisation d’un générateur de S.B.P.A. pour l’essai ou la simulation d’un système, est aussi connue sous le nom de techniques de Monte-Carlo (très largement utilisées par les physiciens lors de simulations). Ajoutons, que les signaux aléatoires sont caractérisés par leurs propriétés statistiques (alors que les signaux d’excitation utilisés précédemment étaient de nature déterministe).
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