Intrication en variables continues

Transformations symplectiques 

 Dans l’espace de Hilbert, les opérations unitaires jouent un rˆole particulier vis-à-vis des états Gaussiens car elles préservent leur caractère Gaussien. Les plus simples et les plus courantes sont celles qui correspondent aux termes au plus quadratiques (par rapport aux opérateurs du champ) du Hamiltonien. Chacune de ces opérations unitaires agissant sur l’espace de Hilbert correspond à une transformation symplectique, agissant sur l’espace des phases. Une transformation S est dite “symplectique” si elle est linéaire et qu’elle préserve la forme symplectique Ω (cf. équation (2.3)) : tS Ω S = Ω (2.9) Cette définition impose Det(S) = 1 pour toute transformation symplectique S. L’équation (2.9) revient à dire que la transformation doit préserver les relations de commutation entre les opérateurs Pˆ et Qˆ (cf. Fig. 2.1).On peut également déduire immédiatement de cette définition (en multipliant à gauche par (tS) −1 et à droite par S −1 ) que si une transformation S est symplectique, son inverse S −1 est elle aussi symplectique. Les transformations symplectiques agissant sur l’espace des phases de dimension 2N forment le groupe symplectique réel Sp(2N, R). Leur action sur le vecteur Rˆ est linéaire, de sorte qu’elles agissent sur les matrices de covariance sous la forme : σ 7→ σ 0 = S σ tS (2.10) Avant d’exposer les propriétés générales des transformations symplectiques, nous allons détailler l’expression des plus importantes d’entre elles : compression de bruit à 1 et à 2 modes, lame séparatrice, déphasage.

Compression de bruit à 1 mode 

Dans l’espace de Hilbert de dimension N, on va s’intéresser à l’opérateur unitaire correspondant à la compression de bruit pour l’état du champ dans le mode k, avec un cteur de compression r : Uˆ sq k (r) = exp h r 2  (ˆa † k ) 2 − (ˆak) 2 i (2.11) Sa représentation symplectique est la transformation correspondante dans l’espace des phases, agissant sur le mode k. Il s’agit de la transformation “compression de bruit à 1 mode” : S sq k (r) =  e r 0 0 e −r  (2.12) 

Déphasage

 Dans l’espace de Hilbert, le déphasage de l’état du champ dans le mode k par un angle θ se traduit par : ˆak → aˆ 0 k = e ı θaˆk. Soit, pour les quadratures, une matrice unitaire de transformation : U deph ´ k (θ) =  cos θ sin θ − sin θ cos θ  (2.13) La représentation symplectique correspondante est [Serafini et Adesso, 2007] : S deph ´ k (θ) =  cos θ sin θ − sin θ cos θ  (2.14) On peut montrer que toutes les transformations symplectiques à 1 mode s’écrivent comme des combinaisons linéaires de 2 rotations (orthogonales) à 1 mode dans l’espace des phases et d’une compression de bruit à 1 mode. Cette décomposition est la décomposition d’Euler [Serafini et Adesso, 2007]. La transformation la plus générale à 1 mode s’écrit donc : Sloc,1(θ, θ0 , r) =  cos θ sin θ − sin θ cos θ  e r 0 0 e −r   cos θ 0 sin θ 0 − sin θ 0 cos θ 0  (2.15) d) Intrication entre 2 modes Cette opération est très importante, car l’état intriqué à 2 modes 6 est l’état généré par un oscillateur paramétrique optique de type II. L’état EPR est un état intriqué à 2 modes avec un facteur d’intrication 7 r → ∞.