Photoionisation de l’hélium et des ions héliumoïdes

La section efficace de photoabsorption

La collision ou l’interaction entre deux particules, est généralement décrite en termes de section efficace. Cette quantité donne une mesure de la probabilité qu’une réaction ou qu’un certain type de réaction puisse se produire. Elle peut être calculée si on connaît l’interaction qui la régit. Lorsque qu’on irradie la matière avec des photons d’énergie supérieure à l’énergie d’ionisation des atomes, il y’a absorption suivie d’une ionisation de l’atome. La section efficace, correspondant à ce processus, dépend de l’énergie des photons : on constate qu’elle décroît fortement avec l’énergie. Ce phénomène peut être expliqué par le fait que lorsque l’énergie de la liaison est largement négligeable devant celle du photon, la section efficace d’interaction avec le rayonnement, est très petite car l’électron se comporte comme étant libre. A l’approximation de la diagonalisation, la section efficace de photoionisation est définie par la formule bien connue de Fano [4]: 2 2 2 ( ) 1 j D ba j q T ε σ σσ ε + = = + + ∑ (II-1) oùσ a est la partie de la section efficace contenant l’effet de l’interférence de la résonance avec le spectre continu. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 0 12 2 1 2 ˆ , , ˆ , k k a k rr V E E D rr rr V E µ µ φ φφ ψ σ φ φ = (II-2) et σ b est la partie de la section efficace ne contenant pas l’effet de l’interférence de la résonance avec le spectre continu. ( ) ( ) 2 0 12 , σφ ψ σ b k = E D rr − a (II-3) σσσ 0 = +a b (II-4) Avec σ0, la section efficace de photoabsorption à l’absence de la résonance et dont la formule est donnée par l’expression suivante : ( ) ( ) 2 0 0 1 2 , σφ ψ = k E D rr (II-5) la section efficace de photoabsorption σ0 est une fonction décroissante de l’énergie de l’électron du continuum :(figure1 et 2). II- 2 Le coefficient de corrélation Ce paramètre ρ 2 permet la caractérisation du degré de diminution de la valeur de la section efficace de photoabsorption au point ε= -q par rapport à la section efficace définit loin de la résonance. Il est appelé coefficient de corrélation et est défini par l’expression suivante : 2 a a b σ ρ σ σ = + (II-6) II- 3 La largeur de la résonance Partant de la définition (I-34), Γ est caractérisée par le couplage de l’opérateur potentiel d’interaction électrostatique de l’état discret à l’état du continuum d’énergie E. La largeur de la résonance autoionisante est intrinsèque à la résonance. Elle représente la somme des largeurs partielles Γk des différents canaux ouverts k et peut être exprimée sous la forme suivante : ( ) 1 2 ( ) 12 1 2 , k k k k rr E r Γ= Γ = < ∑ ∑πφ φ µ > (II-7) II- 4 L’indexe de profil de la résonance ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 0 12 1 2 0 1 2 , , ˆ , , k k k rr D rr q rr V E E D rr µ µ φ ψ πφ φ φ ψ < > = ∑< >< > (II-8) L’indexe de profil caractérisant l’asymétrie de la résonance est défini par l’équation ci-dessus. Il est important de noter que l’asymétrie de la résonance autoionisante est définie par le paramètre indexe de profil q. Les résultats bien connus du pro fil de Fano [4] de la section efficace montrent que le carré de l’indexe de profil représente le rapport des probabilités de transitions à l’état discret et à l’état du continuum. L’indexe de profil peut tendre vers l’infini si la probabilité de transition vers l’état discret est dominant. C’est ce qu’on nomme le profil Lorentzien. L’indexe de profil peut aussi tendre vers zéro si la probabilité de transition vers l’état discret est plus petite que celle vers le continuum. II- 5 Calcul des éléments matriciels de transition Les processus d’absorption et d’émission sont appelés transitions radiatives. La relation hν=E2 – E1 est une condition nécessaire pour qu’un rayonnement soit susceptible de provoquer une transition radiative entre les deux niveaux E1 et E2; mais elle n’est pas suffisante car les nombres quantiques caractérisant cette transition, doivent satisfaire certaines règles de sélection. Concernant la transition dipolaire électrique, les fonctions d’ondes représentant les états de transition de l’état initial ψ1 à l’état final ψ 2 doivent être paires où i mpaires. En plus, le produit ψ ψ1 2 doit être impair pour q ue l’élément matriciel définissant la transition soit différent de zéro pour répondre à la règle de s élection de la parité. Donc ψ1 et ψ 2 doivent avoir des parités différentes. La règle de sélection la plus caractéristique est la conservation du moment cinétique du système ‘atome + ra yonnement’. La parité des fonctions harmoniques sphériques est égale (-1)l . La règle de sélection de la parité implique que ∆l doit être un nombre impair. L’évaluation détaillée des intégrales donne la règle ∆l=±1. Le photon n’interagit pas avec le spin de l’électron dont l’état ne change pas durant la transition.

Calcul des éléments matriciels dans les transitions dipolaires

Pour le calcul des éléments matriciels de transitions dipolaires, nous avons deux cas à traiter. Nous allons en premier lieu calculer la transition de l’état fondamental 1s2 à l’état d’autoionisation 2s2p et ensuite calculer la transition de l’état fondamental 1s2 à l’état du continuum 1skp. ψ ψ µ ( ) rr D rr 12 0 12 , , ( ) (II-9) Cet élément matriciel de transition dipolaire de l’état fondamental à l’état d’autoionisation n’est rien d’autre que le numérateur de l’expression de l’indexe de profil. Il est défini à partir de la fonction d’onde initiale de type Hylleraas, d’une fonction d’onde de l’état d’autoionisation choisie comme une combinaison linéaire antisymétrique de fonctions coulombiennes et de l’opérateur moment dipolaire D . Toutes nos expressions sont exprimées en unité atomique. L’opérateur moment dipolaire est définie par : Drr = +1 2 (II-10) La fonction d’onde à l’état fondamental de type Hylleraas est définie par l’expression suivante : sont les fonctions angulaires pour l’électron 1 et 2 pour lesquels les moments angulaires sont nuls. Dans l’expression de l’élément matriciel, la fonction d’onde ( ) 1 2 r r, ψ µ désigne la fonction d’onde de l’état d’autoionisation. Cette fonction est une combinaison linéaire antisymétrique de fonc tions d’ondes hydrogénoïdes déterminée dans le cadre de l’approximation du couplage LS.Où le terme 12 1 2 l l m m LM représente les coefficients de Clebsch-Gordan à déterminer [58] et Rnl est la fonction d’onde radiale de l’électron à l’état lié. Cette fonction d’onde radiale est définie par [58] : ) est la fonction hypergéométrique dégénérée. Il existe pour cette fonction, des développements en séries de puissances, des relations de r écurrence et des représentations intégrales et asymptotiques [59]. La fonction hypergéométrique possède la propriété de s’exprimer sous forme de polynômes de Laguerre, que nous allons utiliser pour la commodité de certains de nos c alculs. Ainsi, nous a urons la fonction d’onde radiale sous l a forme suivante : Pour le calcul de la transition de l’état fondamental vers l’état d’autoionisation, en remplaçant dans l’élément matriciel définissant le numérateur de l’indexe de profil les fonctions d’ondes et l’opérateur moment dipolaire par leurs expressions respectives [(II-10),(II-11),(II-12)], on obtient ainsi :