Régularisation de l’équation de Reynolds par développement asymptotique

L’hypothèse principale de l’approximation de lubrification, qui conduit à l’équation de Reynolds, est la faible épaisseur du fluide devant les directions transversales [26]. Cette hypothèse permet de réduire la description de l’écoulement d’une modélisation tridimensionnelle à une description bidimensionnelle. Dans le cas d’un écoulement dans une fissure, cette approximation est justifiée dans presque tout le domaine de la fissure sauf en pointe de fissure où l’écoulement vertical peut ne plus être négligeable devant l’écoulement horizontal. Tenir compte de la vitesse dans la direction verticale peut conduire à donner une meilleure description du champ de pression près du front de propagation de fissure. Dans ce chapitre on propose d’examiner les effets des termes du deuxième ordre dans l’équation de Reynolds, en prenant comme référence les travaux de A. Tamizer [45] et J. Fabricius et al [14], qui abordent la même problématique mais dans le contexte des problèmes de lubrification et inclusion des rugosités. On étudie l’écoulement d’un fluide newtonien s’écoulant entre deux plaques rigides. On considère que cet écoulement est invariant dans la direction Z de sorte que l’on peut l’analyser dans le plan OXY en considérant une profondeur  unitaire. On modélise l’écoulement par les équations de Navier-Stokes et on fait l’hypothèse de « film mince » en gardant les termes d’ordres supérieurs pour finalement écrire une version modifiée de l’équation de Reynolds qui tient compte des effets du deuxième ordre. Cette équation modifiée sera comparée à l’équation de Reynolds standard pour analyser l’influence de la géométrie de la plaque sur le champ pression.

Géométrie du conduit et formulation du problème

Supposons un conduit défini par deux plaques; l’une parfaitement plane et l’autre décrite par la fonction Y = H(X,T ). Supposons de plus que l’espace compris entre les deux plaques est rempli par un fluide newtonien, qui s’écoule dans le sens des X croissants. La géométrie du problème est schématisée sur la figure 4.1. On va concentrer notre analyse sur la région Ω = {(X,Y) ∈ R2 : 0 ≤ X ≤ Lr et 0 ≤ Y ≤ H(T ,X)}, hors de laquelle les plaques seront considérées parallèles et parfaitement horizontales de sorte que l’écoulement associé est horizontal et décrit par la loi de Poiseuile [26]. Pour décrire l’évolution de l’écoulement développe entre les plaques dans la région Ω, on part des équations de Navier-Stokes pour un fluide newtonien incompressible de densité ρ et de viscosité cinématique constante ν, dont les inconnues sont le champ de vitesse U = UeX + WeY et le champ de pression P. 

Adimensionnement des équations

Considérons l’épaisseur maximale entre plaques noté Hr , la longueur horizontale du domaine étudie Lr et la vitesse moyenne de l’écoulement à l’entrée Ur . Ces paramètres nous permettent de définir les changements de variables suivants : X = Lrx, Y = Hry, H(T ,X) = Hrh(t, x), U = Uru, T = Lr Ur t, P = ρU2 r p . avec u = ueX + weY le champ de vitesse adimenionné et p le champ de pression adimensionné. En substituant ces variables dans les équations de Navier-Stokes, 82 CHAPITRE 4. Régularisation de l’équation de Reynolds le bilan de quantité de mouvement s’écrit ∂tu + u∂xu + Lr Hr w∂yu + ∂xp = ν UrLr ∂ 2 xxu + νLr UrH2 r ∂ 2 yyu , ∂tw + u∂xw + Lr Hr w∂yw + Lr Hr ∂yp = ν UrLr ∂ 2 xxw + νLr UrH2 r ∂ 2 yyw , et le bilan de masse s’écrit Hr Lr ∂xu + ∂yw = 0 . On peut définir les nombres sans dimension Re := UrLr ν le nombre de Reynolds et ǫ := Hr Lr le rapport d’aspect. Le nombre de Reynolds mesure le rapport entre les effets d’inertie et les effets visqueux. La géométrie de l’écoulement entre deux plaques en étude, corresponde bien à la description des films minces où en général les effets inertielles sont considérés négligeables devant les effets visqueux [26], on propose alors de supposer que le nombre de Reynolds est de l’ordre de ǫ, soit Re = ǫR, où R est de l’ordre de l’unité. Ceci permet d’écrire l’ensemble d’équations de Navier-Stokes comme :    ǫ 3 (∂tu + u∂xu) + ǫ 2w∂yu + ǫ 3∂xp = ǫ 2 R ∂ 2 xxu + 1 R ∂ 2 yyu , ǫ 3 (∂tw + u∂xw) + ǫ 2w∂yw + ǫ 2∂yp = ǫ 2 R ∂ 2 xxw + 1 R ∂ 2 yyw , ǫ∂xu + ∂yw = 0 . L’objectif de ce chapitre est de prendre en compte les effets des ordres supérieures du rapport d’aspect ǫ, qui sont négligés dans l’équation de Reynolds standard. Si l’on suppose que h ne s’annule jamais, on peut proposer le changement z = y/h pour élargir et uniformiser la dimension verticale. Le problème est alors défini sur le domaine uniformisé unitaire représenté sur la figure 4.2 .