Assimilation d’images pour l’estimation du mouvement

Télécharger le fichier original (Mémoire de fin d’études)

Apprentissage de base par décomposition orthogonale propre

Introduction

L’estimation du mouvement w(x, t), à partir d’une séquence d’images I(x, t), par des algorithmes d’assimilation de données a fait l’objet d’un important eﬀort de recherche ces dernières années [2, 6, 45]. Ces méthodes, que nous avons brièvement présentées dans le chapitre 1, ont pour principales limitations le temps de calcul et la mémoire nécessaire à leur utilisation. La complexité de ces algorithmes est proportionelle à la taille des images multipliée par la durée de la fenêtre temporelle. Un moyen de contourner ces diﬃcultés Md’utilisation est d’utiliser une technique dite de réduction : la projection du modèle complet sur un sous-espace de faible dimension permet de réduire considérablement le temps de calcul et la mémoire nécessaire.
Le sous-espace de projection peut être, par exemple, obtenu par décomposition or-thogonale (« Proper Orthogonal decomposition » ou POD). Également connue sous le nom d’Analyse en Composantes Principales (ACP) ou décomposition de Karhunen-Loève [31], cette technique a été en premier lieu introduite pour la mécanique des fluides par Lum-ley [32]. Elle a depuis été largement utilisée pour approximer la description de divers écoulements [11, 23, 37, 38]. Un modèle réduit, obtenu par projection de Galerkin, a ainsi été utilisé par D’Adamo et Papadakis dans [10, 35] pour estimer la dynamique réduite d’un écoulement, par assimilation de données, à partir d’observations du champ de mou-vement acquises par « Particle Image Velocimetry » [36]. Ce modèle dynamique réduit décrit l’évolution temporelle des cœﬃcients de projection ai(t) du mouvement w(x, t) sur une base Φ = {φi(x)}i=1…K afin d’approximer l’évolution temporelle du champ de vitesse w(x, t).
Dans ce chapitre, on souhaite estimer un mouvement w(x, t), à partir d’une séquence discrète d’images I = {Iz}z = {I(x, tz)}z. On considère un modèle complet Mdécrivant les lois d’évolution du mouvement et des images. Un modèle réduit MR est défini par projection de Galerkin de Msur des sous-espaces obtenus par POD. Une base Φ est définie pour le mouvement et une base Ψ pour les images. Le mouvement w(x, t) est représenté par ses cœﬃcients de projection ai(t) sur la base Φ, et les images par leurs cœﬃcients de projections bj(t) sur la base Ψ. Pour que le modèle réduit soit une bonne approximation du modèle complet, il faut que les sous-espaces de projection soient tels que :
– l’erreur de projection de la solution est faible, et
– la dynamique du modèle complet est bien approximée.
Après avoir défini les sous-espaces, pour le mouvement et les images, un algorithme d’as-similation dans le modèle réduit MR est conçu et permet d’assimiler les cœﬃcients des images afin d’estimer les cœﬃcients du mouvement.
Dans la section 2.2, la projection du modèle complet Md’advection du mouvement et des images, que nous appelons AIMI, est explicitée, afin d’illustrer la démarche de projection. De même, la détermination des sous-espaces de projection par POD est décrite dans la section 2.3 afin de permettre au lecteur d’appréhender la globalité de la démarche. Des expériences de simulation et d’assimilation dans le modèle réduit sont présentées dans les sections 2.4 et 2.5.

Bases réduites obtenues par décomposition orthogonale propre

On présente, dans cette section, l’obtention des bases Φ et Ψ au moyen de la dé-composition orthogonale propre (encore appelée « Proper Orthogonal Decomposition »ou POD dans ce document). Dans ce cas, on suppose qu’on dispose de séquences discrètes de champs de mouvement, W = {wz(x)}z, et d’images, I = {Izs(x)}z.
Dans la sous-section 2.3.1, les séquences de mouvement et d’images sont obtenues par une simulation du modèle complet Mà partir des conditions initiales, selon l’équa-tion 2.2.2. On décrit le calcul des bases dans la sous-section 2.3.2, et on compare ensuite les résultats de simulation du modèle complet à sa projection sur les bases Φ et Ψ dans la sous-section 2.3.3.
Le modèle complet AIMI, décrit par le système 2.3.1, est simulé, à partir des conditions initiales w0 et I0 représentées sur la figure 2.1. w0 est représenté en pseudo-couleurs à l’aide de l’outil de représentation de la « Middlebury database 1 ». En chaque pixel, la teinte représente la direction du vecteur vitesse et son intensité représente la norme du vecteur vitesse.
Pour réaliser cette simulation, le modèle 2.3.1 est discrétisé et les paramètres de la simulation sont les suivants :
– dx = dy = 1 m,
– dt = 0.01 s,
– Nx = Ny = 128 soit 128 mètres,
– Nt = 700 soit 7 secondes.
La simulation fournit les séquences w(x, t) et Is(x, t), dont quelques images sont pré-sentées sur la figure 2.2. On choisit les dates tz = 0 s, 0.5 s . . . , 7 s pour former les séquences discrètes W = {wz}z = {w(x, tz)}z et I = {Iz}z = {I(x, tz)}z, qui ont donc 13 éléments. L’ob-tention des bases Φ et Ψ au moyen de la POD à partir des séquences W et I est décrite dans la sous-section 2.3.2.

Décomposition orthogonale propre

On décrit, dans cette sous-section, l’obtention des bases réduites Φ = {φi(x)}i=1…K, pour la représentation de la séquence de mouvement w, et Ψ = {ψj(x)}j =1…L, pour la séquence d’images I. Dans un cadre général, on considère une séquence discrète E = {Em}m2{1,…,M}. E peut être scalaire, dans le cas E = I, ou vectorielle dans le cas E = W. Les données sont discrètes et représentées sur une grille de pixels. Un élément Em s’écrit sur la base canonique {en}n8=1…N des pixels : m 2{1, . . . , M}, Em =Enmen (2.3.2) n=1 avec N le nombre de pixels du domaine. Considérons la matrice E de taille N M, tel que l’élément de la nième ligne et mième colonne est Emn. Soit G = EET la matrice de Gram de taille N N. Une décomposition orthogonale propre est appliquée à la matrice G. Les vecteurs propres obtenus, associés aux valeurs propres non nulles, forment une base = {γm}m=1…M de l’espace Vect(E) engendré par E.
Les P premiers vecteurs propres, expliquant 99% de la variance de E, sont choisis pour constituer la base réduite que l’on note également = {γp}p=1…P afin de simplifier les notations.
Bases obtenues. La décomposition orthogonale propre, appliquée aux séquence W et I, fournit respectivement les bases réduites Φ pour le mouvement et Ψ pour les images. Les bases obtenues sont représentées sur la figure 2.3. En choisissant de limiter à 99% de la variance, les bases sont toutes deux constituées de 4 éléments : K = L = 4.
Afin d’évaluer la qualité de ces bases pour représenter le mouvement et les images, on réalise, dans la sous-section 2.3.3, la projection des séquences w(x, t) et Is(x, t) sur les bases Φ et Ψ.

Analyse des projections sur les bases Φ et Ψ

Afin de bâtir un modèle réduit MR, qui soit une bonne approximation du modèle com-plet M, la première étape consiste à estimer un sous-espace pour le mouvement et les images. C’est ce que nous avons fait dans la sous-section précédente. Une fois ce sous-espace obtenu, il faut s’assurer que l’erreur de project on des séquences est faible, car le mouvement sera estimé dans ce sous-espace de project on.
Les séquences obtenues sont représentées sur les figures 2.4 et 2.5. Visuellement, les séquences de mouvement et d’images sont semblables. Quelques statistiques d’erreur de projection sont fournies dans le tableau 2.1. Les statistiques d’erreurs sont très bonnes : les corrélations sont très proches de 1 et la NRMSE est de 0.08% pour le mouvement et 0.06% pour les images.

Simulation du modèle réduit

Dans cette section, on présente une simulation du modèle réduit MR, obtenu par pro-jection de Galerkin du modèle complet AIMI sur les bases POD décrites dans la section 2.3. On nomme ce modèle réduit MR-AIMI-POD-POD, afin de signifier que le modèle AIMI est projeté sur deux bases POD pour obtenir le modèle réduit. Les simulations des modèles complet et réduit sont ensuite comparées afin de s’assurer que le modèle réduit approxime convenablement le modèle complet.

Table des matières

I Estimation du mouvement par assimilation de données dans des modèles réduits
1 Assimilation d’images pour l’estimation du mouvement
1.1 Introduction
1.2 Système d’assimilation
1.3 Modèle d’advection du mouvement et des images
1.4 Résultats d’assimilation
1.5 Projection de Galerkin d’un modèle dynamique
1.6 Conclusion
2 Apprentissage de base par décomposition orthogonale propre
2.1 Introduction
2.2 Projection de Galerkin du modèle d’advection image
2.2.1 Rappel des équations
2.2.2 Projection des équations
2.3 Bases réduites obtenues par décomposition orthogonale propre
2.3.1 Simulation du modèle complet
2.3.2 Décomposition orthogonale propre
2.3.3 Analyse des projections sur les bases
2.4 Simulation du modèle réduit
2.4.1 Simulation du modèle réduit
2.4.2 Résultats
2.5 Assimilation dans le modèle réduit
2.5.1 Système d’assimilation
2.5.2 Expérience jumelle d’assimilation
2.6 Conclusions
3 Réduction du modèle de mouvement à divergence nulle
3.1 Introduction
3.2 Modèle complet d’advection image à divergence nulle
3.2.1 État du modèle
3.2.2 Dynamique du modèle
3.2.3 Calcul de w en fonction
3.3 Projection de Galerkin pour l’obtention du modèle réduit
3.4 Simulation
3.4.1 Simulation du modèle complet
3.4.2 Simulation du modèle réduit
3.4.3 Conclusions
3.5 Assimilation dans le modèle réduit
3.5.1 Conclusions
3.6 Expérience à fenêtre glissante
3.6.1 Introduction
3.6.2 Description de l’expérience
3.6.3 Expérience jumelle par fenêtre glissante
3.6.4 Remarques et conclusions
3.7 Comparaison avec l’état de l’art
3.8 Conclusions
II Bases fixes pour l’estimation du mouvement
4 Projection du modèle à divergence nulle sur une base de fonctions sinus
4.1 Introduction
4.2 Rappels du formalisme
4.3 Espace réduit – Base de fonctions sinus
4.4 Simulation
4.4.1 Simulation modèle complet
4.4.2 Simulation modèle réduit
4.4.3 Conclusions
4.5 Expérience jumelle d’assimilation
4.5.1 Assimilation dans le modèle réduit MR-AIMIDF_sinus-POD
4.5.2 Conclusions
4.6 Projection de l’équation du mouvement sur base de fonctions sinus
4.6.1 Introduction
4.6.2 Assimilation dans le modèle réduit MR-AIMIDF_sinus
4.6.3 Conclusions
4.7 Comparaison des résultats d’assimilation dans les modèles complet et réduit
4.7.1 Expérience d’assimilation sur des données synthétiques
4.7.2 Assimilation d’images satellite
4.8 Expérience fenêtre glissante
4.8.1 Introduction
4.8.2 Description de l’expérience
4.8.3 Expérience jumelle par fenêtre glissante
4.8.4 Conclusions
5 Estimation du mouvement sur bases d’ondelettes
5.1 Introduction
5.2 Bases d’ondelettes
5.2.1 Base d’ondelettes pour le mouvement à divergence nulle
5.2.2 Base image ondelettes
5.3 Expériences synthétiques
5.3.1 Advection du mouvement et des images à divergence nulle
5.3.2 Simulation du modèle réduit
5.4 Estimation du mouvement de surface de la mer Noire
5.4.1 Bases d’ondelettes pour la mer Noire
5.4.2 Données océanographiques utilisées pour l’étude
5.4.3 Comparaison des simulations complète et réduite
5.4.4 Assimilation dans le modèle réduit à divergence nulle
5.5 Conclusions
6 Conclusion générale et perspectives
III Annexes
A Composantes de l’algorithme d’assimilation 4D-Var
A.1 Calcul du gradient de la fonction de coût associé au système d’assimilation
A.2 Algorithme d’assimilation du modèle réduit
A.2.1 Description synthétique de l’algorithme
A.2.2 Définition des variables et des dimensions
A.2.3 Description des runs Forward et Backward
B Calcul des modèles tangent et adjoint dans le cas des modèles réduits
B.1 Modèle réduit d’advection
B.2 Calcul du tangent et de l’adjoint des équations sur b
C Intégration numérique des modèles complets
C.1 Modèle d’advection du mouvement et des images (nommé AIMI)
C.1.1 Définition du vecteur d’état
C.1.2 Dynamique du modèle
C.1.3 Split des équations d’évolution
C.1.4 Schémas de discrétisation
C.1.5 Conditions aux bords
C.2 Modèle d’advection du mouvement et des images sous la contrainte d’une divergence nulle (AIMIDF)
C.2.1 État
C.2.2 Dynamique du modèle
C.2.3 Schémas de discrétisation
C.2.4 Conditions aux bords
D Articles
D.1 Complément au chapitre 2 : Assimilation d’images dans un modèle réduit pour l’estimation du mouvement
D.2 Complément au chapitre 3 : Learning reduced models for motion estimation on ocean satellite images
D.3 Complément au chapitre 3 : Learning reduced models for motion estimation on long temporal image sequences
D.4 Complément au chapitre 4 : Coupling Reduced Models for Optimal Motion Estimation
D.5 Complément au chapitre 5 : Motion estimation on ocean satellite images by data assimilation in a wavelets reduced model