La modélisation du risque commercial déplacé

La quantification des risques trouve une justification par rapport à la réglementation prudentielle qui impose aux banques de détenir un niveau minimum de fonds propres. L’enjeu d’une quantification la plus précise possible est de taille dans la mesure où elle déterminera le niveau de fonds propres minimum à détenir par la banque. Or, moins le niveau des fonds propres est important plus la banque disposera des ressources pour développer son activité. Dans cette perspective, les banques ont développé des méthodes de mesure de risques de plus en plus sophistiquées et fait appel à des outils statistiques avancés. L’objectif de ce chapitre consiste à proposer une mesure pour le risque commercial déplacé, déjà identifié dans le chapitre précédent. Nous présenterons dans une première section les techniques d’évaluation des risques, la plus utilisée est la Value at Risque VaR. La deuxième section sera consacrée à la modélisation du risque commercial déplacé. La troisième section présente une application de notre modèle.  

LES MESURES DU RISQUE

Sachant la valeur d’un portefeuille à un instant donné, le risque est une variation négative de ce portefeuille dans le futur. Pendant très longtemps, la mesure naturelle du risque était la volatilité. Nous citons l’exemple du modèle de sélection de portefeuille de Markowitz où l’agent maximise son espérance de gain pour un niveau donné de risque mesuré par la volatilité qui mesure la dispersion autour d’une moyenne. Cette vision de la mesure statistique de risque a beaucoup évolué. La mesure actuellement la plus répondue est la Value at Risk. 1.1 La Value at Risk : présentation, paramètres et modèles. 1.1.1 Présentation D’un point de vue statistique, la VaR d’un portefeuille d’actifs correspond au quantile de la perte potentielle pour un horizon de temps donné T à un niveau de probabilité α donné63 . Analytiquement, La VaR (T,α) est un nombre tel que : Proba (X ≤ VaRα (X)) = α X est une variable aléatoire représentant la perte potentielle du portefeuille. Exemple. La VaR d’un portefeuille de transactions d’une institution est de $10 millions, à un niveau de confiance de 97.5%. Autrement dit, il y a seulement 2.5% de chance dans des conditions normales de marché, pour qu’une une perte supérieure à $ 10 millions puisse survenir.  L’outil VaR est un modèle d’évaluation liant le prix ou le rendement des actifs composant le portefeuille aux différents facteurs de risques. La problématique de la VaR est donc avant tout une question de valorisation consistant à établir une relation quantifiée entre la variation des facteurs de risques et la variation de valeur d’un portefeuille d’instruments. Utilisée initialement par les banques pour déterminer le capital requis pour la couverture du risque de marché, la VaR est devenu ces dernières années, un standard pour l’évaluation de tous les risques. Le caractère synthétique de la VaR explique son succès. La VaR est développé à l’origine par la banque américaine JP Morgan sous le nom de Riskmetrics, en permettant ainsi de disposer chaque jour en fin d’après midi d’une évaluation globale de la prise de risque par l’établissement sur le portefeuille de négociation.

Les paramètres de la VaR

La VaR d’un portefeuille prend la forme d’un nombre unique, calculé par référence à une période de détention et pour un certain niveau de confiance.  La période de détention : C’est la période de temps sur laquelle les pertes potentielles sont considérées. Une mesure VaR à cinq jours sera supérieure à une mesure VaR à un jour. Selon Jorion (1996), la période de détention devrait correspondre à la plus longue période requise pour la liquidation normale du portefeuille. Dans les banques, le risque du marché est typiquement évalué sur une courte durée (un jour ou dix jours). Pour le risque de crédit, en revanche, l’horizon effectif peut varier d’un jour à plusieurs mois, ou même sur une période beaucoup plus longue (plusieurs années).  Le niveau de confiance : Ce paramètre est assimilé à un indicateur de tolérance pour le risque. Le choix du seuil de confiance est un paramètre capital de la mesure de risque. Il s’agit de spécifier la valeur critique de la mesure qui distingue entre le niveau acceptable et le niveau inacceptable de 197 risque. Généralement, pour une mesure de risque donnée, on fixe un niveau de confiance (par exemple 99% pour le risque de marché) qui correspond à la probabilité que le montant des pertes ne dépasse pas cette mesure de risque en valeur absolue. Une couverture à 99% est beaucoup plus exigeante et donc beaucoup plus couteuse qu’une couverture à 90%. Du point de vue réglementaire, l’objectif de l’utilisation d’un seuil de confiance est la minimisation du nombre de faillites.

Les différents modèles de la VaR

Au fil du temps, les techniques de simulation des chocs appliqués pour la détermination de la VaR se sont complexifiées, diversifiées et raffinées. Trois approches de méthode de VaR sont utilisées par les institutions financières : la VaR paramétrique, la VaR historique et la VaR Monte-Carlo. 

La VaR historique

Cette méthode est sans doute la méthode la plus simple dans sa conception et sa mise en œuvre puisqu’elle ne fait aucune hypothèse sur la forme de la distribution des rentabilités. Le modèle de VaR historique suppose que le futur est la reproduction du passé. Il repose sur l’hypothèse selon laquelle l’évolution historique des facteurs de risques permet de déterminer leur valeur future. Il suffit de disposer des données historiques des gains et des pertes du portefeuille dont on souhaite calculer la VaR. A partir de ces données historiques, il est possible de reconstituer la distribution empirique des pertes et des gains et d’en déduire par conséquent la VaR. Cela suppose que l’on détermine une période d’observation pour estimer la distribution de la variation future d’un portefeuille. Ainsi, sur la base des données historiques, il s’agit de choisir une période d’observation. Les rendements du portefeuille pour cette période sont rangés par ordre croissant. Il faut juste trouver le rendement qui correspond au quantile désiré. Par exemple, pour une période de 100 observations et une probabilité de risque de 5%, le rang correspondant est égal au nombre 198 d’observation (soit 100) multiplié par 5%, c’est-à-dire 5. La VaR correspond au 5ème plus petit rendement. En d’autres termes, pour calculer la VaR, les rendements des actifs d’un portefeuille à la période retenue sont perçus comme un scénario possible pour les rendements futurs. Le portefeuille est évalué sous chacun de ces scénarios et les pertes&profits sont rangés par ordre croissant. La distribution empirique qui en résulte est considérée comme la distribution de probabilité des pertes&profits futurs. La VaR est alors définie comme un quantile de la distribution empirique des pertes&profits futurs selon le niveau de confiance choisi.

La VaR paramétrique

La méthode est appelé également la méthode variances/covariances ou la méthode analytique. Elle suppose que les rendements de tous les actifs sont distribués suivant une loi normale et qu’ils s’expriment linéairement à partir des facteurs de risques. La VaR se calcule par : α µ σ α VaRT z = t + t ,( ) Avec µt est la moyenne, σt est l’écart type de la distribution, α z est le quantile de la loi normale standard associé au niveau de probabilité α. Ex z5%=-1,65 Cette méthode consiste donc à représenter la distribution des profits ou pertes potentielles selon une fonction de densité d’une loi normale de moyenne nulle. 

La VaR Monte Carlo

Cette approche utilise un modèle économétrique pour déterminer l’évolution des facteurs de risque au cours du temps. Les paramètres de ce modèle étant fixés par l’utilisateur ou estimés à partir des données passées. Ce modèle repose sur l’estimation de la distribution des variables à l’aide d’un grand nombre d’échantillons choisis aléatoirement et extraits de cette distribution. La différence entre cette méthode et la méthode historique est que les changements de prix avec lesquels le portefeuille est réévalué sont simulés (plutôt que d’être historiques).