LA SUPERSYMETRIE A L’INTERIEUR DU CMS PAR RESEAU DE NEURONES ARTIFICIELS MULTICOUCHES

LE MODELE STANDARD

Dans ce chapitre, nous allons étudier les particules qui sont liées aux constituants élémentaires du modèle standard. Pour cela, nous allons montrer les différents types d’interactions fondamentales de ce modèle. Nous verrons ensuite la brisure spontanée de la symétrie électrofaible et les limites du modèle.

MODELE STANDARD

Le modèle standard est une théorie de jauge renormalisable basée sur le groupe . décrit l’interaction forte régie par la chromodynamique quantique [3] et rendent compte de l’unification de la force faible et de l’électrodynamique quantique [4] 1-1 Les constituants élémentaires du Modèle Standard Le modèle standard est formé de deux types de particules, classées suivant leur spin : les fermions de spin qui constituent le champ de matière et les bosons de jauge de spin 1 qui sont les vecteurs d’interaction. Les fermions sont regroupés au sein de trois générations comprenant les quarks et les leptons (Tableau 1.1). Le tableau montre également les quatre bosons de jauge. Tableau 1 .1 Particules constituants du modèle standard. Fermions 1ère generation 2ème generation 3ème generation Force (s=1) Bosons de jauge Quarks Up (u) Down (d) Charm (c) Strange (s) Top (t) Bottom (b) Photon ( Gluon (g) Leptons Electron (e) Neutrino electronique Muon ( ) Neutrino muonique Tau ( Neutrino tau Boson (Z) Boson (w) 1-2- Les interactions fondamentales du modèle standard Dans cette sous-section nous allons définir quatre (4) interactions fondamentales: les interactions fortes, faibles, électromagnétiques et gravitationnelles :  La force nucléaire est le responsable de la cohésion des quarks dans les 4 hadrons. Elle est également responsable de la liaison entre les nucléons à l’intérieur du noyau.  la force électromagnétique est la responsable de la cohésion des atomesdans une molécule et de la cohésion des molécules dans un corps. Le quantum ou boson de jauge de l’interaction magnétique est représenté par le photon .  La force faible a été décrite en 1930 par Enrico Fermi qui a pu expliquer la désintégration du neutron (aussi appelée désintégration ) [3].L’interaction faible viole la symétrie charge-parité qui est la combinaison des symétries conjugaison de charge.  La force gravitationnelle a une intensité extrêmement faible par rapport aux autres forces. 1-3-Interactionélectrofaible Les interactions électromagnétique et faible, déjà évoquées au paragraphe 1-1-2 ont été unifiées en une théorie de jauge renormalisable par Glashow [5] pour former l’interaction électrofaible. Cette théorie électrofaible est basée sur le produit de deux groupes de symétrie : 1-4- Brisure spontanée de la symétrie électrofaible L’invariance du modèle standard sous la symétrie d’isospin faible est conservée à partir de la masse nulle des fermions. Il en est de même pour les bosons de jauge pour conserver la renormalisabilité de la théorie électrofaible. Les bosons et les fermions acquièrent ainsi une masse par interaction avec ce champ scalaire dit de Higgs. Au champ scalaire de Higgs correspond un potentiel scalaire qui s’écrit: V ( (1.1) Où µ et représentent respectivement les couplages bilinéaires et quadrilinéaire du boson de Higgs à lui-même. Pour briser la symétrie électrofaible, il faut que l’équation (1.1) ait un minima pour ≠0 ce qui implique que ⟨ 0. L’allure du potentiel scalaire pour un choix de ⟨ 0 est représentée sur la figure 1.1 Figure 1.1 Allure du potentiel scalaire de Higgs pour 5 Ce minimum est dégénéré. Cela veut dire qu’il y a une brisure spontanée de la symétrie électrofaible. ⟨ veut dire que le minimum du potentiel vérifie la relation suivante : = (1.2) avec =√ , où est la valeur moyenne non nulle dans le vide du champ et le choix arbitraire de sa phase entraine la brisure spontanée de la symétrie électrofaible. 2. Limites du Modèle Standard Le modèle standard présente certaines limites. Tout d’abord, en cosmologie, le modèle standard ne permet pas d’expliquer le problème de la matière noire et de l’énergie sombre dans l’univers. Ensuite le modèle standard est aussi incapable d’expliquer l’ existence des trois familles de fermions ainsi que les nombres quantiques associés aux particules, comme la charge électrique Q , l’isospin I, la couleur et le nombre étrange S. De plus, les masses des fermions sont introduites par le biais de paramètres arbitraires. Et enfin, la différence d’échelle en masse entre les divers constituants du modèle reste sans explication. Les constantes de couplage fortes, faibles et électromagnétiques ne convergent pas vers une valeur commune à hautes énergies et la gravitation ne peut être inclue dans ce modèle. Ces limites ont motivé les physiciens théoriciens à élaborer d’autres modèles, entres autres, la Supersymétrie que nous allons développer de façon succincte dans le chapitre suivant.

LASUPERSYMETRIE

Dans ce chapitre, nous allons parler de la Supersymétrie est une des théories proposées pour étendre le Modèle Standard et répondre à certaines limites évoquées dans le paragraphe précédent. Son objectif premier est d’élaborer une symétrie entre fermions et bosons. 

SUPERSYMETRIE

Motivation Dans cette sous-section nous allons montrer que la Supersymétrie permet de résoudre certaines des limites du Modèle Standard présenté dans le paragraphe 2 du chapitre précédent : o L’interaction gravitationnelle peut être incluse au sein d’une théorie de grande unification(GUT) o La hiérarchie entre l’échelle électrofaible et l’échelle de Planck est expliquée o La particule la plus légère de la théorie est un candidat à la matière noire de l’Univers L’extension minimale du modèle standard incorporant la supersymétrie, le Modèle Standard Supersymétrique Minimal (MSSM), permet la convergence des constantes de couplage à hautes énergies o La symétrie entre fermions et bosons permet aussi de résoudre le problème de divergence quadratique de la masse du boson de Higgs. Pour vérifier ce dernier point, nous allons supposer l’existence d’une particule scalaire massive. Sa contribution à la masse du boson de Higgs est donnée par le diagramme suivant : S H H H H Figure 2-1Diagramme de contribution à la correction radiative sur la masse du boson de Higgs pour scalaire. Lorsque nous ajoutons une contribution à celle d’un fermion, le terme de correction sur la masse du boson de Higgs s’écrit 7 ( ൯ (1.3) Où = limite en énergie de la validité du Modèle standard et et sont des constantes de couplage.  Si alors, nous voyons que le terme disparait. Donc le terme correctif de la masse du boson de Higgs dépend de la différence de masse entre le fermion et le scalaire. (1. 4)  Si 1 TeV c’est-à-dire si la masse entre particules standards et supersymétriques 1 TeV, alors le problème de neutralité disparait [6].Pour que l’annulation du terme en persiste à tous les ordres, elle doit résulter d’une symétrie: il s’agit de la supersymétrie. 

UNE NOUVELLE SYMÉTRIE

La supersymétrie est une symétrie de l’espace-temps [7]. Il s’agit en effet de transformer un boson B en un fermion F et vice versa grace à des générateurs Q et qui sont des opérateurs fermioniques avec spin : Les générateurs de la supersymétrie sont ainsi liés aux générateurs de l’algèbre de Poincaré, aux générateurs des boost de Lorentz et aux rotations de l’espace- temps [9]. Les relations de commutation avec les éléments de l’algèbre de Poincaré sont : [ (1.5) [ , ̅ ̇ ] = ̅ ̅ (1.6) [ (1.7) [ ̅ ̇ , ] = 0 (1.8) où les matrices ̅ sont définies à l’aide des matrices de Pauli = (1, ) et ̅ 1, ). La matrice est définie comme ̅ ̅ ). Les relations d’anticommutation reliant les générateurs de spin demi entier entre eux sont modifiées. On a : 8 ̅ ̇ ̇ (1 .9) { (1.10) D’où, l’algèbre de supersymètrie est décrite par les équations (1.5) ;(1.7) et (1.9).

CONSTRUCTION DU LAGRANGIEN SUPERSYMETRIQUE 

Le multiplet chiral

Lagrangien du multiplet chiral Nous allons voir dans cette section, que le lagrangien supersymétrique le plus simple peut être construit à partir d’un fermion de Weyl à deux composantes et d’un champ scalaire complexe pour avoir le même nombre de degré de liberté bosonique [8]. Le lagrangien libre s’écrit ̅ (1.11) Nous allons postuler la transformation suivante pour transformer un scalaire en un fermion. Cette transformation s’écrit , (1.12) étant un paramètre infinitésimal de la transformation. La variation scalaire du lagrangien (1 .11) s’écrit alors: ( (1.13) Alors : Pour compenser l’équation (1.13), il nous faut donc une variation lineaire en , et en la dérivée de afin que la variation du lagrangien fermionique compense celle du lagrangien scalaire : = ̇ ̇ (1.14) D’après l’équation (1.14) nous pouvons montrer que la variation du lagrangien fermionique s’écrit alors: ̅ ̅ (1.15) 9 Appliquons les identités des matrices de Pauli dans la relation (1.15) ̅ ̅ 2 et ̅ ̅ ̇ ̇ = 2 ̇ ̇ (1.16) La variation du lagrangien fermionique s’écrit alors ̅ ) (1.17) Ce qui permet de conclure que l’action S reste invariante sous la transformation supersymétrique. D’où la variation de l’action: ∫ ( ൯ (1.18) Puisque est égal à une dérivée totale. Il reste à vérifier que l’algèbre des transformations (1.12) et (1.14) est fermée, c’est-à-dire que le commutateur de deux transformations de symétrie appartient à la super algèbre. Pour les scalaires : = = (1.19) = Le commutateur étant proportionnel à la dérivée, et donc l’impulsion est un élément de l’algèbre. Pour : ቀ ( ൯ ቁ ቀ ( ൯ ቁ (1.20) = ( ൯ ̅ ̅ Les deux premiers termes à droite de l’équation (1.20) sont de la forme requise par les transformations de supersymétrie. Les deux termes restants sont nuls sur la couche de masse « on-Shell » [10] à cause des équations du mouvement suivantes : ̅ (1.21) La supersymétrie est donc valable seulement « on-Shell ». Pour avoir une supersymétrie valable “off shell “ on peut introduire aussi dans le lagrangien un champ scalaire complexe F sans terme cinétique (champ auxiliaire) : 10 , (1.22) avec des transformations de supersymétrie ̅ ̅ (1.23) et des transformations des champs des fermions : ; ̇ ̇ ̇ (1.24) Pour ces transformations, on peut vérifier aussi que pour tous les champs , , le commutateur s’écrit : = (1.25) L’utilisation des champs auxiliaires sera importante dans la discussion de la brisure de supersymétrie.

Interaction du multiplet chiral

Le supermultiplet chiral est à la base de la construction du modèle standard supersymétrique. D’après les équations (1.11) et (1.22), le lagrangien libre s’écrit: ̅ + (1.26) où i est un indice sur les degrés de liberté de jauge et de saveur. L’invariant de ce lagrangien se pose aux transformations suivantes : = = + ̇ ̇ + ̇ (1.27) = ̅ = ̅ Nous allons montrer que le terme d’interaction invariant sous les transformations de supersymétrie et renormalisable est donné par l’expression suivante: (1.28) de dimension la masse et la masse au carré respectivement. La propriété pour les spineurs[9] implique que doit être symétrique par rapport à ses indices. fermioniques afin de limiter la dimension de masse à 4. On ne peut pas non plus introduire des termes d’interaction purement 11 bosoniques dans les champs parce qu’il serait impossible de compenser leur variation sous une transformation de supersymétrie. Le lagrangien est le plus général possible. On peut analyser séparément les différentes parties de ce lagrangien. La transformation de la partie qui contient quatre spineurs s’écrit = ( ( +c.c. (1.29) Pour le premier terme de droite on peut utiliser l’identité de Fierz[10] ( + ( + ( =0 (1.30) L’équation (1.30) implique qu’on peut avoir une variation nulle si est symétrique dans les indices i, j, k. Pour le deuxième terme de droite une identité semblable n’est pas disponible et la seule possibilité pour avoir une interaction invariante est d’éliminer complètement les champs du terme qui est donc analytique dans le champ complexe .