Le principe de la méthode PROMETHEE

 Les trois phases de la méthode PROMETHEE

La mise en œuvre de la méthode peut être ramenée à l’exécution des trois étapes suivantes:1-Choix de critère généralisés A chaque critère C1, C2,…, Cn sera associé un critère généralisé choisi sur base d’une fonction de préférence et les effets d’échelle seront éliminés. 2-Détermination d’une relation de surclassement Dans une deuxième phase, il convient de déterminer une relation de surclassement par le biais d’un indice de préférence (par exemple: l’écart maximum entre 2 actions) qui quantifiera les préférences du décideur. 3-Evaluation des préférences L’évaluation de la préférence du décideur par la prise en compte des flux entrant et sortant. Le principe de la méthode PROMETHEE consiste à établir un processus de comparaison numérique de chaque action par rapport à toutes les autres actions. Ainsi il est possible de calculer le plus (mérite) ou le moins (démérite) de chaque action par rapport à toutes les autres. Le résultat de cette comparaison permet le classement ordonné des actions.

La notion de critère généralisé

Soit Ci(a) un critère à optimiser (soit maximiser, soit minimiser) pour chaque action « a » appartenant à « A », Ci(a) est une évaluation de cette action (critère Ci pour l’action « a »). Lorsque deux actions « a1 » et « a2 » sont comparées sur base de ce critère, le résultat de cette comparaison devra être donné sous la forme d’une expression de la préférence appelée la fonction de préférence. Cette fonction traduit l’intensité de préférence de l’action « a1 » par rapport à l’action « a2 ». Il est réaliste de considérer que cette fonction de préférence est une fonction non décroissante de la différence entre les deux évaluations Ci(a1) et Ci(a2): Soit d = Ci(a1)-Ci(a2) P(a1,a2)= ƒ[d] pourrait, par exemple, avoir la forme suivante: Le principe de la méthode PROMETHEE P(a1,a2) 1 d 0 Cette fonction pourrait être interprétée comme suit:101 P(a1,a2) = 0: indifférence de « a1 » par rapport à « a2 » Ci(a1) = Ci(a2). P(a1,a2) ≈ 0: préférence faible de « a1 » par rapport à « a2 » Ci(a1) > Ci(a2). P(a1,a2) ≈ 1: préférence forte de « a1 » par rapport à « a2 » Ci(a1) >> Ci(a2). P(a1,a2) = 1: préférence stricte de « a1 » par rapport à « a2 » Ci(a1) >>> Ci(a2). A fin de mieux mettre en évidence le domaine d’indifférence, nous considérerons plutôt la fonction de préférence H qui traduira aussi bien la préférence de « a1 » par rapport à « a2 » que celle de « a2 » par rapport à « a1 ».Ceci revient à considérer le quadrant de gauche sur le graphique précédent. Ce quadrant servira à la fonction de préférence de « a2 » par rapport à « a1 », qui dans beaucoup de cas est symétrique par rapport à la fonction de préférence de « a1 » par rapport à « a2 ». Nous représenterons mathématiquement ces deux fonctions par:102 H= {P(a1,a2) ≥0, P(a1,a2) ≤0} Le couple (H, d) est appelé critère généralisé associé au critère au Ci. Il faut remarquer que H n’est pas nécessairement symétrique.Commentaires: – La définition d’un critère généralisé revient à dire que pour résoudre le problème multicritère posé, nous devons définir un critère généralisé c’est-à-dire un couple (H, d) par critère Ci. – Afin de faciliter la détermination des fonctions de préférence, ces dernières ont été regroupées en 6 familles. Chacun des types de critère généralisé ainsi défini est fonction de 1 ou 2 paramètres à savoir:103 q seuil d’indifférence: c’est la plus grande valeur de « d » en dessous de laquelle le décideur considère qu’il y a indifférence. p seuil de préférence stricte: c’est la plus petite valeur de « d » au dessus de laquelle le décideur qu’il y a préférence stricte. σ paramètre équivalent à l’écart standard d’une distribution normale (loi de Gauss). Tout ces paramètres ont, pour le décideur, une signification économique.- Par exemple: choix d’une offre: q = 60 signifie qu’une différence de prix de 60 unités monétaires m’est indifférente (négligeable). p = 600 signifie que si une offre a1 coûte 600 unités monétaires en moins que l’offre a2, a1 sera strictement préférée à a2.

Choix des fonctions de préférence

Un critère généralisé devra être associé à chaque critère ƒj(.), j=1,…, k. Il s’agit d’une information complémentaire importante, et pour faciliter la tâche au décideur, un ensemble de six types lui est proposé:104 Type de critère Forme proposée H(d) d 1 Usuel Critère — Type I H(d) d 1 Critère Quasi q q Type II H(d) d 1 Linéaire p p Critère à préférence Type III H(d) d 1 (Pseudo) q p q, p Critère à paliers Type IV 1/2 H(d) d 1 q p q, p Critère à préférence Linéaire avec zone d’indifférence Type V H(d) d 1 gaussien Critère  Type VI 104 -Phillipe Vinck, op cit, p103. -Type I : critère usuel La fonction type I est généralement employée lorsque les données présentent un caractère discret tel un classement ou ordinal ou encore une valeur de type tout ou rien. Dans ce cas, dès qu’il y a un écart, il y a préférence stricte pour l’action ayant l’évaluation la plus élevée. Si le décideur choisi le type I pour un critère particulier, il ne doit fixer aucun paramètre. -Type II : quasi-critère La fonction type II est employée lorsque les seuils d’indifférence sont clairement apparents dans les données du problème posé. Les actions a1 et a2 sont dans ce cas indifférentes aussi longtemps que l’écart dj(a1,a2) ne dépasse pas un seuil qj, et au-delà de ce seuil, la préférence est stricte. Ici, il faut fixer le seuil d’indifférence qj. Ce type de critère provient de la notion de quasi-ordre introduit par Luce D. -Type III : critère à préférence linéaire La fonction type III est généralement employée lorsque les données sont telles que les écarts entre elles présentent un caractère continu, ou encore lorsque toutes les valeurs intermédiaires entre les valeurs maximales et minimales de ces écarts sont possibles. Un tel critère permet au décideur de préférer progressivement a1 à a2 en fonction de l’écart observé entre ƒj(a1) et ƒj(a2). Le degré de préférence croît alors jusqu’à ce que le seuil P; soit atteint, et au-dessus de ce seuil, la préférence est stricte. Dans ce cas, le seul paramètre à fixer est le seuil de préférence stricte. -Type IV : critère à paliers (Pseudo) La fonction type IV est parfois employée dans des cas d’espèce, en particulier lorsqu’on peut affirmer qu’un candidat n’est à la fois ni strictement préféré à un autre, ni indifférent. Ce candidat caractérisé par un écart donné par rapport à un autre se verra attribuer ½ point. Deux actions a1 et a2 sont ici considérées comme indifférentes aussi longtemps que l’écart entre ƒj(a1) et ƒj(a2) ne dépasse pas qj; entre qj et pj, le degré de préférence est faible, et audelà de pj, la préférence devient stricte. Il y a donc ici deux paramètres à fixer. -Type V : critère à préférence linéaire avec zone d’indifférence La fonction type V est employée lorsque les seuils d’indifférence et de préférence stricte sont clairement apparents dans les données du problème multicritère posé. Dans ce cas-ci comme dans le précédent, a1 et a2 sont considérées comme indifférentes aussi longtemps que l’écart entre ƒj(a1) et ƒj(a2) ne dépasse pas qj; au-delà de ce seuil, le degré de préférence croît linéairement avec dj jusqu’à atteindre un seuil de préférence stricte à partir de pj. Ici encore, deux paramètres doivent être fixés. -Type VI : critère gaussien La fonction type VI (distribution gaussienne) est la fonction la plus employée dans les applications pratiques et est particulièrement indiquée en cas d’un nombre de candidats suffisamment élevé (en principe minimum 30). Dans ce cas il convient de calculer l’écart type σ de cette distribution. Dans ce cas, le degré de préférence croit de façon continue en fonction de dj, un seul paramètre Sj doit être fixé. Pour un écart égal à Sj, on obtient une préférence moyenne (0.39). Remarquons que, comme la plupart des méthodes multicritères, les méthodes Prométhée requièrent des évaluations numériques. Dans le cas où les différentes évaluations s’expriment comme des évaluations qualitatives, on devra associer aux niveaux d’une telle échelle des valeurs numériques afin de pouvoir choisir un type de critère généralisé. Ainsi, deux degrés de liberté importants sont laissés au choix du décideur: le type de critère généralisé et les seuils qui interviennent dans la définition de ce critère. Phillipe Vinck nous fournit quelques lignes directrices afin de faire ces choix le plus efficacement possible.