Intégration par rapport à l’intégrale positive de Daniell

Les multimesures ont été l’objet d’une étude par PALLU DE LA BARRIERE [1], GODET- THOBIE [1], A. COSTE [1], D. S. THIAM [1], K. SIGGINI [1].L’intégration par rapport à une multimesure à valeurs faiblement compactes positives a été faite par D. S. THIAM [1].La séquentielle compacité positive d’une multimesure est une notion nouvelle, qui est pour les multimesures, l’équivalent de σ-finie pour les mesures scalaires :sachant intégrer par rapport à une multimesure à valeurs faiblement compactes positives ( finie ), comment le faire par rapport à une multimesure séquentiellement compacte positive (σ-finie).Nous obtenons les théorèmes de convergences monotones et dominée pour une multimesure à valeurs convexes fermées,ainsi que le prolongement d’une multimesure définie sur un clan au δ-clan engendré.Nous obtenons également une caractérisation de l’ensemble des fonctions intégrables. G. DIA [1] a étudié l’intégration par rapport à une multimesure fermée bornée,mais sans obtenir les théorèmes de convergences en dehors du cas compact.M. THIAM s’est intéressé aux multimesures à valeurs dans un semi-groupe.PALLU DE LA BARRIERE [3] étudie l’intégration par rapport à une multimesure à valeurs faiblement compactes, en utilisant les semi variations exhaustives.Cette exhaustivité est liée à la possibilité de définir un espace d’intégration où le théorème de la convergence dominée est valable, c’est à dire en partie l’objet du mémoire.Nous remercions le professeur SAKHIR THIAM qui nous a indiqué la notion de séquentielle compacité positive d’une multimesure.Ces multimesures sont de facto prolongeables, ce qui permet à la semi-variation associée d’être automatiquement exhaustive, et donc d’intégrer par rapport à une telle multimesure. Nous retrouvons des résultats que D. S. THIAM a obtenu dans le cas compact.

Définition et Propriétés

NB : La notion de multimesure faible est une notion très générale qui apparaît dans COSTE- PALLU DE LA BARRIÈRE [1] ;cette notion couvre l’essentiel des situations existantes.Une multimesure normale à valeurs cfb(E) est une multimesure stricte, la réciproque n’est pas vrai d’après A. COSTE [1] page III-4.Cependant si les multimesures sont à valeurs faiblement compactes, toutes ces notions de multimesures coïncident d’après le théorème 1.2 pages 93 D. S. THIAM [1].Le fait qu’une multimesure stricte soit normale est basée sur le lemme de KLUVANEK valable pour E elcs complet :Nous rappelons le lemme 2-1 page 95 D. S. THIAM [1], qui est une légère généralisation du lemme de KLUVANEK pour E elcs complet :Soit (Fn)n≥1 une suite de faiblement fermés telle que pour toute suite (xn)n avec xn ∈ Fn la sérieau sens de la structure uniforme de HAUSDORFF de f(E).Dans tout ce travail nous désignerons par multimesure forte une multimesure normale au sens de GODET-THOBIE ou multimesure forte au sens de D. S. THIAM.Si M est une multimesure forte à valeurs dans cf b+(E) alors M vérifie (ii).

Intégrale positive de Daniell

M est une multimesure monotone s-compacte.L’additivité provient de la propriété de décomposition de RIESZ, cf PERRISINI [1] page 8, ou D. S. THIAM [1] page 173.Exemple 3.2.2. Soit Ω le clan engendré par les compacts d’un espace topologique localement compact métrisable séparable.Soit M : Ω −→cc(E) une multimesure monotone . Alors M est s-compacte.Propriété 3.2.1. (1) H∨ contient H+, est stable par addition et est réticulé. (2) I∨ est croissante et prolonge I.(3) I∨ est additive ie I∨( f + g ) =I∨(f)i=1Ai est une suite croissante de =M .Le théorème de la convergence monotone donne alors :∪n≥1An ∈ =M ie =M est une tribu. M (A)= I∨( 1A)=M(A). Si (An) ↓ ∅,An ∈ =M on a d’après le théorème 3.4.5 et le théorème de la convergence monotone,Notre objectif dans ce travail était de développer une théorie de l’intégration positve de Daniell .Cependant pour assurer par exemple la sous-additivité de I∗ :I∗(f1 + f2) ⊂ I∗(f1) + I∗(f2) , il faillait supposer que I∗(f1) ∈ cc(E),I∗(f2) ∈ cc(E). En effet , cette sous additivité est basée sur la propriete [3.2.9].Les différentes notions de multimesures coïncident, si la multimesure M est à valeurs dans CC(E) : Voir théorème 3-2 page 93 D. S. THIAM [1].Cela n’est plus le cas si M est à valeurs dans cfb(E) : voir A. COSTE [1] page III-3. C’est la même chose pour une mesure positive finie et une mesure positive à valeurs dans.A. Costé [ 1 ] : thèse d’état Paris 6 , 1977C. Castaing et M . Valadier [1] : convex analysis and measurable multifunctions, Springer-Verlag – 1977Godet – Thobie : Thèse d’état Montpellier , 1975Pallu De La Barrière :[1] Quelques propriétés des multimesures , séminaire d’analyse convexe, Monpellier 1973 , exposé n˚ 11[2] Multimesures à valeurs convexes fermées Actes du colloque l’intégration vectorielle et multivoque Caen (1975)-Exposé n˚4[3] L’intégration : un nouvel itinéraire d’initiation à l’analyse mathématique L’Ellipse 1997,Paris.D.S.Thiam [1] : thèse d’état Paris 6 , 1976M. Valadier [1] : On Strassen theorem- Séminaire d’analyse convexeG. Dia [1] : Thèse de 3e cycle , université de Dakar , 1978M. Thiam [1] : Thèse de 3e cycle , université de Dakar .