Modélisation de la machine à induction polyphasée

Modélisation analytique et réduction de dimensions
Représentation généralisée par les équations de tension

La machine à induction est généralement représentée par ses équations de tensions [56]. Ces équations permettent de modéliser les grandeurs électriques liées au bobinage statorique et à la cage rotorique, elles sont exprimées dans « la base naturelle » comme suit : 𝑉𝑠 = 𝑅𝑠 .𝐼𝑠 + 𝑑𝜙𝑠 𝑑𝑡 , 2-1 𝑉𝑟 = 0 = 𝑅𝑟 .𝐼𝑟 + 𝑑𝜙𝑟 𝑑𝑡 , 2-2 𝜙𝑠 = 𝐿𝑠𝑠.𝐼𝑠 +𝐿𝑠𝑟(𝜃).𝐼𝑟 , 2-3 𝜙𝑟 = 𝐿𝑟𝑟.𝐼𝑟 + 𝐿𝑟𝑠(𝜃).𝐼𝑠 , 2-4 Tel que : – Vs est le vecteur de tension statorique dans la base naturelle (dimension = nombre de phases statoriques Nph) ; – Vr est le vecteur de tension rotorique dans la base naturelle (dimension = nombre de barres rotoriques Nbar) ; – ϕs est le vecteur de flux statorique dans la base naturelle (dimension = Nph) ; – ϕr est le vecteur de flux rotorique dans la base naturelle (dimension = Nbar) ; – Is est le vecteur de courant statorique dans la base naturelle (dimension = Nph) ; – Ir est le vecteur de courant rotorique dans la base naturelle (dimension = Nbar) ; – Rs est la matrice de résistance statorique dans la base naturelle (dimensions = Nph x Nph) ; – Rr est la matrice de résistance rotorique dans la base naturelle (dimensions = Nbar x Nbar) ; – Lss est la matrice d’inductance statorique dans la base naturelle (dimensions = Nph x Nph) ; – Lrr est la matrice d’inductance rotorique dans la base naturelle (dimensions = Nbar x Nbar) ; – Lrs(θ) est la matrice d’inductance mutuelle stator-rotor dans la base naturelle, dont les éléments varient en fonction de la position du rotor « 𝜃 » (dimensions = Nph x Nbar). Au niveau du stator, les deux matrices de résistance et d’inductance s’écrivent comme suit : Rs = [ Rs 0 … 0 0 Rs 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ 0 0 … 0 Rs ], 2-5 Modélisation de la machine à induction polyphasée 2.1 Modélisation analytique et réduction de dimensions 2.1.1 Représentation généralisée par les équations de tension Chapitre 2 : Modélisation de la machine à induction polyphasée 74 Lss = [ Ls11 + Lls Ls12 … … Ls1Nph Ls1Nph Ls11 + Lls Ls12 … Ls1(Nph−1) ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮ Ls12 … … Ls1Nph Ls11 +Lls ] , 2-6 La matrice Rs est donc une matrice diagonale, avec Rs : la valeur de la résistance d’une phase du stator (les phases statoriques sont considérées identiques). La matrice Lss est composée des éléments : – Ls11 : inductance propre magnétisante d’une phase statorique, en considérant un bobinage équilibré, cette inductance est la même pour toutes les phases du stator ; – Ls1i : inductance mutuelle entre la phase « 1 » et la phase « i » du bobinage statorique ; – Lls : inductance de fuite d’une phase statorique. Comme on peut remarquer dans l’équation 2-6, la matrice Lss est circulante (vu la régularité du bobinage). En outre, pour un bobinage équilibré, les termes Ls12 et Ls1Nph sont égaux (plus généralement les termes Ls1i et Ls1(Nph−i+2) , avec « i » différent de 1), ce qui donne à cette matrice la propriété de symétrie (une propriété liée à la réciprocité des flux). Quant au rotor, la cage est modélisée selon la Figure 2.1. Chaque boucle rotorique, composée par deux demi-barres adjacentes et une portion de chaque anneau de court-circuit, est considérée comme une phase.

Transformation de Concordia généralisée 

Réduction de dimensions statorique et rotorique Les équations de tension (2-1 à 2-4) sont exprimées dans la base naturelle (dimensions statorique et rotorique : Nph et Nbar), dans cette base les harmoniques se superposent (comme on peut le voir dans la matrice Lsr(θ), équation 2-10), ce qui complique l’analyse de leurs interactions et leurs effets sur les performances de la machine. Comme expliqué dans la section 1.2.1, la transformation de Concordia permet de séparer les harmoniques sur différents « plans α-β » découplés (indépendants entre eux). Par exemple, une machine triphasée, peut être modélisée par un circuit équivalent biphasé (correspondant à un plan α-β) et une composante homopolaire (non excitée en cas d’alimentation équilibrée des phases) grâce à la transformation de Concordia. Plus généralement, un bobinage électrique contenant « n » phases régulièrement réparties peut être modélisé par : – n−1 2 plans α-β, sur lesquels se répartissent des familles indépendantes d’harmoniques, et une composante homopolaire, si n est impair, – n 2 − 1 plans α-β, et deux composantes homopolaires, si n est pair. La matrice de transformation de Concordia généralisée [18], pour une dimension « n » impaire, peut s’écrire comme suit : An = √ 2 n [ 1 √2 1 √2 ⋯ 1 √2 1 cos ( 2π n ) ⋯ cos ( 2(n−1)π n ) 0 sin ( 2π n ) ⋯ sin ( 2(n−1)π n ) ⋮ ⋱ ⋯ ⋮ 1 cos ( (n−1)π n ) ⋯ cos ( (n−1) 2π n ) 0 sin ( (n−1)π n ) ⋯ sin ( (n−1) 2π n )] , 2-12 La première ligne de la matrice correspond à la composante homopolaire. Si la dimension est paire « n+1 », une nouvelle ligne est ajoutée à la fin de la matrice de l’équation Chapitre 2 : Modélisation de la machine à induction polyphasée 77 2-12 : 2 √n [ 1 √2 − 1 √2 ⋯ 1 √2 − 1 √2 ]. Cette ligne correspond à une deuxième composante homopolaire. Il faut noter que cette base découplée de Concordia est « orthonormale », comme la base naturelle, ce qui conserve le produit scalaire (conservation de puissance). L’application de la transformation de Concordia sur les équations de tension (2-1 à 2-4) permet de les découpler, elles s’expriment dans la base de Concordia comme suit : 𝑉𝑠𝛼𝛽 = 𝑨𝒔 . 𝑅𝑠 . 𝑨𝒔 −𝟏 .𝐼𝑠𝛼𝛽 + 𝑑𝜙𝑠𝛼𝛽 𝑑𝑡 , 2-13 𝑉𝑟𝛼𝛽 = 0 = 𝑨𝒓 . 𝑅𝑟 . 𝑨𝒓 −𝟏 .𝐼𝑟𝛼𝛽 + 𝑑𝜙𝑟𝛼𝛽 𝑑𝑡 , 2-14 𝜙𝑠𝛼𝛽 = 𝑨𝑠 . 𝐿𝑠𝑠. 𝑨𝑠 −𝟏 .𝐼𝑠𝛼𝛽 + 𝑨𝑠 . 𝐿𝑠𝑟(𝜃). 𝑨𝑟 −𝟏 .𝐼𝑟𝛼𝛽 , 2-15 𝜙𝑟𝛼𝛽 = 𝑨𝒓 . 𝐿𝑟𝑟. 𝑨𝒓 −𝟏 .𝐼𝑟𝛼𝛽 + 𝑨𝒓 . 𝐿𝑟𝑠(𝜃). 𝑨𝒔 −𝟏 .𝐼𝑠𝛼𝛽 , 2-16 Tel que : 𝐀s et 𝐀𝐫 sont les matrices de transformation de Concordia pour la dimension statorique Nph et la dimension rotorique Nbar respectivement.