Quelques travaux sur les opérateurs auto-adjoints et non auto-adjoints

Les invariants unitaires et la théorie de multiplication Cette section est consacrée à la caractérisation des invariants unitaires des opérateurs auto-adjoints au moyen de la représentation spectrale. Théoréme 1.3 Soit A engendrant un opérateur auto-adjoint sur un espace díHilbert H. Alors il existe une suite Önie des mesures positives 1  2  :::  p telle que A est équivalent unitairement àla suite 1; :::; p est déterminée par A vers líéquivalence des mesures. La représentation (2:13) de líopérateur A désigné comme la représentation spectrale ordonnée. Le nombre p désigne la multiplicité de A. 48 1. Théorémes et modéles spectraux pour les opérateurs auto-adjoints Il y a une autre représentation associée à un opérateur auto-adjoint qui est étroitement liée à la représentation spectrale commandée. Lemme 1.3 Soit L = (ij ) une mesure matricielle positive et soit  une mesure positive telle que L j I: Alors il existe une mesure matricielle diagonale M avec entrées diagonales 1; :::; p telle que di = mid et les assertions suivantes sont vériÖées Théoréme 1.4 Soit A un opérateur auto-adjoint Öni dans un espace de Hilbert H. Alors il existe une suite Önie des mesures positives mutuellement singuliéres 1; :::; p telle que A est unitairement équivalent à M;N1 ; :::; M;Np (2.15) agissant dans L2 (N1); :::; L2 (Np) (2.16) o˘ Nj = jIj , Ij étant la matrice identité. La suite des mesures 1; :::; p est déterminée par A jusquíà líéquivalence des mesures. La représentation (2:15) désigne la représentation spectrale canonique de A.

Opérateurs díentrelacements et opérateurs auto-adjoints

Etant donné deux opérateurs A1 et A2 nous disons que líopérateur X entrelace A1 et A2 si XA1 = XA2 Si líopérateur díentrelacement X est inversible et est borné alors A1 et A2 sont semblables. Dans líensemble de toutes les mesures matricielles, nous distinguons líensemble des mesures de type scalaire qui sont les mesures matricielles de la forme I, cíest-à- dire, les mesures matricielles diagonales avec tous les éléments de la diagonale étant égaux à . Etant donnée une mesure matricielle M, un sous-espace K de L2(M) est appelé un sous espace invariant si M’;MK  K (2.17) pour tout ‘ 2 B cíest.-à-dire, síil est invariant sur tous les opérateurs de multiplication par des fonctions mesurables bornées. Théoréme 1.5 Un sous espace K de L2(I) est un sous espace invariant si et seulement si K = P L2(I) o˘ P est un  mesurable a:e., projection de fonction à valeur matricielle. Il est clair quíun sous espace K est invariant si et seulement si son complément orthogonal K? est invariant. Si P? est la fonction évaluée de projection correspondante à K? alors nous avons P? = I